非线性科学是近些年来研究的热点之一, Wang等^[1]将非线性系统应用于伺服电机的控制中, Zhang等^[2]应用超谐波响应分析法测试旋转叶片受气压影响的形变程度, Zheng等^[3]运用非线性系统到分子动力学, 充分说明了对非线性系统研究的重要性. 自1963年Lorenz提出了第一个具有非线性动力学特性的混沌吸引子, 即Lorenz系统. 此后, 学术界对混沌系统的研究逐渐深入. 2020年, Peng等将改进的返回结果映射法应用于混沌系统的参数估计, 与经典返回结果映射法相比节省了大量的运算时间^[4]. Zhuang等^[5]应用Jaya-Powell算法估计Lorenz混沌系统的参数, 为边缘计算提供了便利. 国外研究员用改进的粒子群算法估计基于混沌响应的永磁同步电动机模型参数, 并取得了良好的效果^[6].

混沌是非线性系统中普遍存在的一种现象, 它作为非线性动力系统的固有特性引起了极大的关注^[7], 尤其是混沌系统在生物医学、保密通信以及信息科学等领域需求的推动下, 致使许多国内外研究者加入研究, 并提出了大量的研究方法^[8-10], 但这些研究方法大多以参数已知为前提. 在许多实际应用中, 由于系统的复杂性等因素, 导致系统参数在大多数情况下是无法确定的, 为了降低在参数寻优过程中的难度, 需要对未知参数设置一定的范围, 所以对混沌系统中的未知参数进行有效评估成为混沌系统中的关键问题^[11]. 对混沌系统中的未知参数进行有效评估实质是多维复杂函数优化问题, 群体智能优化算法对解决复杂函数优化问题提出了有效的方案. 例如: 人工蜂群算法^[12]、萤火虫算法^[13]、差分进化算法^[14]、花朵授粉算法^[15]、粒子群算法^[16]等相继被用于对混沌系统的参数估计, 具有比传统优化算法更好的效果.

人工蜂群算法是仿生智能计算领域中一种十分典型的群体智能优化算法, 它是通过模仿蜜蜂的采蜜过程而得到的, 主要特点是可以直接通过对局部候选解的优劣进行比较, 选出全局最优值^[17]. 相比其他群智能优化算法, 人工蜂群算法在处理多维问题及全局搜索方面所需参数较少, 计算简单,易于实现等优点^[18,19]. 故本文利用人工蜂群算法解决混沌系统中参数估计的问题.

1 混沌系统参数估计

定义m个参数的n维混沌系统的状态变量估计值如式(1):

$\dot X = F(X,{X_0},\theta )$

(1)

式(1)中, $X = {({x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n})^{\rm{T}}} \in {R^n}$ 是系统的状态向量; $\theta = {({\theta _1},{\theta _2}, \cdots ,{\theta _m})^{\rm{T}}} \in {R^m}$ 是系统未知参数向量; X₀是系统的初始状态; F: ${R^n} \times {R^m} \to {R^n}$ 是给定的非线性向量函数.

假设系统结构已知, 当对系统参数进行估计时被估计系统可定义为式(2):

$\dot Y = F\left( {Y,{X_0},\hat \theta } \right)$

(2)

式(2)中, $Y = {({y_1},{y_2}, \cdots ,{y_n})^{\rm{T}}} \in {R^n}$ 是被估计系统中的状态向量 $\hat \theta = {\left( {{\hat \theta _1},{\hat \theta _2}, \cdots ,{\hat \theta _m}} \right)^{\rm{T}}} \in {R^m}$ 是系统估计参数.

参数估计问题也可转化为式(3):

$\hat \theta = \arg \mathop {\min }\limits_\theta J(\theta ) = \arg \mathop {\min }\limits_\theta \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {||{x_i}} - {y_i}|{|^2}$

(3)

式(3)中, N表示用于状态变量的数据长度, x_i和y_i分别表示在其状态变量下系统的真值和估计值. 显然, $J(\theta )$ 是多维和多模非线性函数, 混沌系统具有动态不稳定且对初始参数敏感的特性. 因此, 难以有效且准确地估计出混沌系统的参数. 而人工蜂群算法在处理多维问题上易于实现, 故本文采用人工蜂群算法并以式(3)为目标函数进行求解. 基于人工蜂群算法的混沌系统参数估计框图如图1所示. 首先, 将原系统输出的值 ${x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n}$ 和待估计系统输出的值 ${y_1},{y_2}, \cdots ,{y_n}$ 进行计算得到参数估计的误差平方和 $J(\theta )$ ; 然后, 将得到的 $J(\theta )$ 反馈到人工蜂群算法中生成新的估计值; 最后, 通过多次迭代调整估计值 $\hat \theta $ 使优化函数J最小.

2 基于人工蜂群算法的混沌系统参数估计 2.1 人工蜂群算法

人工蜂群算法(Artificial Bee Colony algorithm, ABC)是一种通过模仿蜜蜂的采蜜过程而得到的优化算法, 它是由土耳其学者Karaboga于2005年提出的用来解决多变量函数的优化问题^[20]. 通过对问题的局部寻优行为, 找到全局最优值的过程. ABC算法主要有初始化、雇佣蜂、观察蜂和侦查蜂4个阶段.

初始化阶段: ABC算法在初始化阶段, 每只雇佣蜂会随机产生一个食物源, 每个食物源与待优化解的个数 ${S_{{N}}}$ 一一对应, ${S_{{N}}}$ 为蜂群规模, 而每个待优化解V(i)是一个n维的向量. 即初始值生成公式如式(4):

$V(i,j) = {V_{\min }}(j) + {{rand}} \times {\rm{[}}{V_{\max }}(j) - {V_{\min }}(j){\rm{]}}$

(4)

式(4)中, $i = 1,2, \cdots ,{S_{{N}}}$ , $j = 1,2, \cdots ,n$ . ${V_{\min }}(j)$ 和 ${V_{\max }}(j)$ 分别是第n维的最小值和最大值. rand表示0和1之间的随机数.

雇佣蜂阶段: 在此阶段, 每只雇佣蜂通过搜索方程在其当前位置的附近生成新的食物源V_EB(i), 其搜索方程如式(5):

${V_{{\rm{EB}}}}(i,j) = V(i,j) + \lambda \times [V(i,j) - V(r,j)]$

(5)

式(5)中, $i = 1,2, \cdots ,{S_{{N}}}$ , $j = 1,2, \cdots ,n$ . $\lambda $ 是−1到1之间的随机数,r是1到 ${S_{{N}}}$ 之间的任意整数且 $r \ne i$ .

当得到新的食物源V_EB(i), 便对其进行评估且与旧的食物源V(i)进行比较. 如果V_EB(i)的适用性优于V(i), 则将V_EB(i)替换V(i); 否则保留V(i).

观察蜂阶段: 当所有雇佣蜂搜索完成后, 它们通过舞蹈分享保存的信息给观察蜂. 观察蜂根据相应的概率在雇佣蜂传递的信息基础上更新候选解, 并评估其适应度选择食物源. 更新方程如式(6):

${V_{{\rm{OB}}}}(i,j) = V(i,j) + \beta \times [V(i,j) - V(k,j)]$

(6)

式(6)中, $i = 1,2, \cdots ,{S_{{N}}}$ , $j = 1,2, \cdots ,n$ . $\;\beta $ 是−1到1之间的随机数,k是1到 ${S_{{N}}}$ 之间的任意整数且k≠i.

当得到新的食物源V_OB(i), 便对其进行评估且与更新的食物源V(i)进行比较. 如果V_OB(i)的适用性优于V(i), 则将V_OB(i)替换V(i); 否则保留V(i).

侦查蜂阶段: 为了防止陷入局部最优, 对于连续k_limit次没更新的解由式(4)重新生成新的候选解代替它.

当得到新的候选解V_SB(i), 便对其进行评估且与原候选解V(i)进行比较. 如果新候选解的适用性优于原候选解, 则替换它; 否则保留原候选解.

ABC算法的优化流程图如图2所示.

2.2 基于人工蜂群算法的混沌系统参数估计法的实现

虽然ABC算法在处理多维问题及全局搜索方面所需参数较少, 计算简单, 易于实现. 但其收敛速度相对较慢, 精度不高.

本节为充分利用搜索方程对蜂源进行搜索得到优化解, 引入了可选择的概率p得到新的搜索机制, 舍弃了概率计算和限制次数内蜂群没替换重新生成随机蜂群的方法, 算法的具体改进之处如下.

在雇佣蜂阶段, 改用搜索方程如式(7):

${V_{{\rm{EB}}}}(i,j) = {V_{\min }}(j) + {V_{\max }}(j) - V(i,j)$

(7)

式(7)中, $i = 1,2, \cdots ,{S_{{N}}}$ , $j = 1,2, \cdots ,n$ . ${V_{\min }}(j)$ 和 ${V_{\max }}(j)$ 分别是第n维的最小值和最大值.

在观察蜂阶段, 引用了差分进化中变异^[21]的方法. 其搜索方程如式(8):

${V_{{\rm{OB}}}}(i,j) = {V_{{\rm{best}}}}(j) + \phi \times [V({r_1},j) - V({r_2},j)]$

(8)

式(8)中, $i = 1,2, \cdots ,{S_{{N}}}$ , $j = 1,2, \cdots ,n$ . ${V_{{\rm{best}}}}(j)$ 是雇佣蜂求出的最优值, r₁和r₂的取值范围为1到 ${S_{{N}}}$ , 但 ${r_1} \ne {r_2}$ . $\phi $ 的取值范围为−1到1.

在侦查蜂阶段, 引用了概率p, 如果 $p > {{rand}}$ , 则用如下搜索方程更新如式(9):

${V_{{\rm{SB}}}}(i,j) = V(i,j) + \phi \times [V(i,j) - V(k,j)]$

(9)

式(9)中, $i = 1,2, \cdots ,{S_{{N}}}$ , $j = 1,2, \cdots ,n$ . k的取值范围为1到 ${S_{{N}}}$ , $\phi $ 的取值范围为−1到1.

本文ABC算法的优化步骤如算法1所示.

算法1. 本文ABC算法

1.初始化阶段: 设置最大迭代次数FE_max, 蜜蜂个数为 $\scriptstyle {S_{{N}}}$ 维度为n; 由式(4)得到初始混沌系统的参数估计值 $\scriptstyle V(i,j)$ , 并通过式(3)计算得到估计参数转化的函数值J₁.

While (符合终止条件)

2. 雇佣蜂阶段:

由式(7)更新参数估计值, 并通过式(3)计算得到目标函数值J₂;

将当前最优目标函数值J₁和J₂进行比较, 最小值即为最优值, 选出最优值放于J₁.

3. 观察蜂阶段:

由式(8)更新参数估计值, 并通过式(3)计算得到目标函数值J₃;

将当前最优目标函数值J₁和J₃进行比较, 最小值即为最优值, 选出最优值放于J₁.

4. 侦察蜂阶段:

比较概率p和rand的大小, 根据比较结果决定是否更新参数估计值;

由式(9)更新参数估计值, 并通过式(3)计算得到目标函数值J₄;

将当前最优目标函数值J₁和J₄进行比较, 最小值即为最优值, 选出最优值放于J₁.

迭代次数 $\scriptstyle FE = FE + 1$ ;

End

3 仿真分析 3.1 基准函数测试

为了验证本文ABC算法的有效性, 将本文ABC算法和ABC算法及文献[12]中的IABC算法的优化能力进行评估. 分别采用了Sphere函数、Griewank函数、Ragstrigin函数、Rosenbrock函数、Ackley函数、Schaffer函数6个标准的测试函数进行测试, 测试函数的表达式、维度、搜索范围及函数最优值如表1所示^[22].

将所有函数的最大迭代次数FE_max设置为100, 各函数的收敛曲线如图3所示. 从各函数的收敛曲线图可以看出, 本文ABC算法与ABC算法及IABC算法相比下降趋势更快、坡度更陡、所用迭代次数更少, 其函数f₃、f₅和f₆尤为明显. 故本文ABC算法相比ABC算法和IABC算法收敛速度更快, 优化效果更佳. 这说明本文ABC算法是可行的.

3.2 Lorenz系统参数估计

Lorenz系统是最典型的混沌系统^[23,24], 这里以Lorenz系统为例, 验证本文ABC算法对混沌系统中未知参数估计的适用性. Lorenz系统的状态方程如式(10):

$\left\{ \begin{array}{l} \dot x = a(y - x) \\ \dot y = bx - y - x{\textit{z}} \\ \dot {\textit{z}} = xy - c{\textit{z}} \\ \end{array} \right.$

(10)

式(10)中 $\dot x = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}t}}$ , $\dot y = \dfrac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}}$ , $\dot {\textit{z}} = \dfrac{{{\rm{d}}{\textit{z}}}}{{{\rm{d}}t}}$ , x表示流体速度, y表示水平温差, z表示垂直温差.

未知参数的真实值a=10, b=28, c=8/3. 以x(0)=0.1, y(0)=0.1, z(0)=0为初始状态值对系统进行仿真, 设置采样次数N=10000. 数值仿真采用四阶Rayleigh-Benard法^[25]来计算式(10)中每个整数点的变量值, 步长h=0.01, 混沌系统^[26]如图4所示.

在本文ABC算法中, 设置最大迭代次数FE_max=100, 种群大小S_N=20, 混沌系统的未知参数范围设置为: $8 \le a \le 12$ , $25 \le b \le 30$ 和 $2 \le c \le 3$ . 图5是参数估计值在每次迭代中记录的最优解曲线图. 图6是目标函数值在每次迭代中记录的最优解曲线图.

由图5和图6仿真结果可以得出, 本文ABC算法的收敛性及稳定性明显优于ABC算法及IABC算法.图7、图8和图9分别是通过两种算法得到的最优估计参数值由式(10)得出的状态变量估计值和真值之间的对比图, 其中误差e(t)的方程如式(11).

$e(t) = \sum\limits_{t = 0}^{N - 1} {\left| {{\delta _i}(t) - \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\delta } (t)} \right|} $

(11)

式(11)中 ${\delta _i}(t)$ 是分别是参数x(t)、y(t)、z(t)的真值, $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{\delta } (t)$ 是分别是参数x(t)、y(t)、z(t)的估计值.

由图7~图9可见, 图9中真值和估计值曲线更趋近于重合尤其随采样次数的增大, 重合度越高, 而图7中的真值和估计值曲线在随采样次数增大时有明显的分叉现象, 图8的重合度相比于图9较差, 所以本文ABC算法的趋近性明显优于ABC算法和IABC算法. 参数a、b、c及目标函数的最优值、最差值和平均值是由ABC算法和本文ABC算法及IABC算法分别独立运行30次计算得到的平均值, 记录于表2.

由表2可以得出, 在最优值、最差值和平均值上由本文ABC算法仿真得出的参数a趋近于10、参数b趋近于28、参数c趋近于8/3的效果明显优于由ABC算法和IABC算法仿真得出的参数趋近值. 利用本文ABC算法得出的目标函数值也明显小于由ABC算法和IABC算法得出的目标函数值, 故本文ABC算法在稳定性及收敛速度上明显优于ABC算法和IABC算法.

4 结论

针对人工蜂群算法收敛速度相对较慢, 精度不高,本文首先引入了可选择的概率p得到新的搜索机制; 在此基础上, 将混沌系统中复杂的参数估计问题转化为多维问题, 利用改进的人工蜂群优化算法求解混沌系统的参数. 测试函数优化实验证了人工蜂群算法改进方案的有效性; Lorenz混沌系统的参数辨识仿真实验结果表明了本文的基于人工蜂群算法的混沌系统参数辨识方法比传统ABC算法及IABC算法具有更高的估计精度, 且较快的收敛速度.