随着车联网技术的发展, 跟驰车在智能网联环境中利用车载终端可以有效获取多辆前车的行驶信息, 优化加速度输出, 可从车辆微观层面改善交通流运行质量^[1]. 网联车跟驰模型的研究可为未来实施大规模的实地测试提供模型参考, 已成为交通流及智能交通领域的研究热点^[2].

20世纪中叶, Brackstone等^[3]通过对微观交通流的不断研究, 提出车辆跟驰模型的基本思想, 随后人们就开始了对跟驰模型的不断探索和研究. Gazis等^[4]根据通用汽车公司提出的GM模型概念, 成功推导出来GM模型的函数表达式, 成为用刺激-反应原理来描述跟驰行为的典型模型. Bando等^[5]提出OV跟驰模型, 可以用来描述很多现实中的交通现象(例如: 走走停停, 阻塞相变等), 但是该模型中有不切合实际的加速度和减速行为, 与实际不相符合. 为了解决OV模型中存在的各种问题, 姜锐等^[6]提出FVD模型, 该模型考虑了正负速度差对跟驰车流的影响, 更加全面地描述了车辆的跟驰行为. 近几年, 人们对跟驰模型进行了更加深入的研究, 在FVD模型的基础上, 开始引入紧贴前车的加速度和速度差等信息来增强跟驰车流的稳定性^[7-14]. 但是现有的跟驰模型未能考虑智能网联车可以获取的多辆前车的信息以及后车的速度信息, 从而对跟驰车驾驶状态进行调整. 如果不考虑多辆前车的行驶信息, 一旦前车进行先加速后减速(或先减速后加速)的运动, 那么跟驰车的速度就会出现较大的起伏, 其主要原因就是前车也要考虑它自己前车的行驶状态, 但是跟驰车无法获得前车所考虑的车辆的行驶状态的变化从而引起的波动. 此外为了更加安全的行驶, 在驾驶过程中, 考虑后车的速度信息及时对车辆驾驶进行调整也有利于跟驰车流的稳定性.

因此本文提出了一种基于智能网联车的跟驰模型—考虑后视效应和多前车速度差信息及加速度信息的跟驰模型(Backward Looking-Multiple Velocity Difference and Accelerations with Memory, BL-MVDAM), 并且探究了当考虑多少数量的前车行驶信息及对后车关注程度为多少时, 可以较大程度提高跟驰车流的稳定性. 为了验证BL-MVDAM模型的合理性, 首先对其进行线性稳定性分析, 分别分析模型中各参数对系统稳定性的影响; 最后使用Matlab仿真平台对模型进行仿真验证, 证明改进模型可以提高跟驰车队行驶的稳定性.

1 BL-MVDAM模型建立

本文在MVD模型的基础上, 引入后视效应和多前车的行驶信息(加速度信息^[15], 速度差信息及历史驾驶信息)综合影响, 得到改进模型:

$\begin{split} {{{v}}_{{n}}}{{(t + T) }} =& {{{V}}_{{\rm{BL - MVDAM}}}}\left( {\sum\limits_{{{i = 1}}}^{{k}} \Delta {{{x}}_{{{n + i - 1}}}}{{,}}} \right.\\ &{\left. {\sum\limits_{{{i = 1}}}^{{k}} \Delta {{{v}}_{{{n + i - 1}}}}{{,}}\sum\limits_{{{i = 1}}}^{{k}} {{{{a}}_{{{n + i - 1}}}}} ({{t}}){{,}}\Delta {{{x}}_{{n}}}} \right)} \end{split}$

(1)

对式(1)进行展开描述为:

$\begin{split} {{{V}}_{{\rm{BL - MVDAM}}}} =& \alpha \left[ {{{P}}{{{V}}_{{F}}}{{(}}\Delta {{{x}}_{{n}}}{{(t)) + }}({{1 - P}}){{{V}}_{{B}}}\left( {\Delta {{{x}}_{{{n - 1}}}}({{t}})} \right){{ - }}{{{v}}_{{n}}}({{t}})} \right]{{ + T}}\sum\limits_{{{i = 1}}}^{{k}} {{\lambda _{{i}}}} \Delta {{{v}}_{{{n + i - 1}}}}\left( {{t}} \right)\\ &{{ + }}\sum\limits_{{{i = 1}}}^{{k}} {{\gamma _{{i}}}} \left[ {{{{V}}_{{F}}}\left( {\Delta {{{x}}_{{{n + i - 1}}}}\left( {{t}} \right)} \right){{ - }}{{{V}}_{{F}}}\left( {\Delta {{{x}}_{{{n + i - 1}}}}({{t - }}\tau )} \right)} \right]{{ + }}\sum\limits_{{{i = 1}}}^{{k}} {{\omega _{{i}}}} {{T}}{{{a}}_{{{n + i - 1}}}}{{(t)}} \end{split}$

(2)

其中, $ \alpha $ 为最优速度的敏感系数, $ t $ 为当前时刻, $ P $ 为驾驶员对前车的关注程度 $ P $ ≤0.5时, 表示驾驶员对后车关注程度高于前车), $ v\left(t\right) $ 为 $ t $ 时刻的车速, $ {\lambda }_{i} $ 为速度差的反应系数, $ k $ 为含前车数量, $ T $ 为外界不可控因素产生的延时, $ \vartriangle {x}_{n}\left(t\right) $ 表示相邻两辆车车头与车尾的间距^[16]; ${V}\left(\cdot \right)$ 表示跟驰车的最优速度函数, $ \tau $ 表示记忆步长; $ {\gamma }_{i} $ 是第 $ n+i-1 $ 辆车的最优速度记忆项的敏感系数, $ {a}_{n+i-1} $ 表示第 $ n+i-1 $ 辆车的加速度, $ {\omega }_{i} $ 表示第 $ n+i-1 $ 辆车的加速度敏感系数.

本文使用的最优速度函数^[17]为 $V\left(\Delta {x}_{n}\left(t\right)\right)$ 的表达式为:

$\begin{split} &{{V}}_{{F}}\left(\Delta {x}_{n}\left(t\right)\right) ={\alpha }_{1}\left(\text{tanh}\left(\Delta {x}_{n}\left(t\right)\text-{{h}}_{c}\right)\text+\text{tanh}\left({{h}}_{c}\right)\right)\\ &{{V}}_{{B}}\left(\Delta {x}_{n}(t)\right) ={\alpha }_{2}\left(\text{tanh}\left(\Delta {{x}}_{\text{n-1}}(t)\text-{{h}}_{c}\right)\text+\text{tanh}\left({{h}}_{c}\right)\right) \end{split}$

(3)

其中, $ {\alpha }_{1} $ , $ {\alpha }_{2} $ 为 ${{V}}_{{F}}$ , ${{V}}_{{B}}$ 最优速度函数系数, ${{h}}_{c}$ 为车辆间的安全距离.

因为 $ T $ 的存在不利于我们对模型进行模拟和分析, 参照文献[9]通过下列各式对 $ T $ 进行简化:

$ {{v}}_{{n}}\left({t+T}\right)={{v}}_{{n}}\left({t}\right){+T}{{a}}_{{n}}({t})$

(4)

将式(4)带入式(2)中得到:

$\begin{split} {{{a}}_{{n}}}({{t}}){{ = }}&\frac{{{1}}}{{{T}}}\left[ {{{V}}\left( {\sum\limits_{{{i = 1}}}^{{k}} \Delta {{{x}}_{{{n + i - 1}}}}{{,}}\sum\limits_{{{i = 1}}}^{{k}} \Delta {{{v}}_{{{n + i - 1}}}},} \right.} \right.\\ &{\left. {\left. {\sum\limits_{{{i = 1}}}^{{k}} {{{{a}}_{{{n + i - 1}}}}} ,\Delta {{{x}}_{{n}}}} \right)} \right]{{ - }}{{{v}}_{{n}}}({{t}})} \end{split}$

(5)

取 ${{\alpha =}}\dfrac{\text{1}}{{T}}$ 则可以将式(5)转化为:

$\begin{split} \frac{{d}{{v}}_{{n}}\left({t}\right)}{{dt}}=&{{{\alpha }}}\left[{P}{{V}}_{{F}}\right(\Delta {{x}}_{{n}}\left({t}\right)+\left({1-P}\right){{V}}_{{B}} \\ & \left(\Delta{{x}}_{{n-1}}\left({t}\right)\right)-{{v}}_{{n}}\left({t}\right)\left)\right]+\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\lambda }}_{{i}} \Delta {{v}}_{{n+i-1}}\left({t}\right) \\ &+\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\gamma }}_{{i}}{[}{{V}}_{{F}}( \Delta {{x}}_{{n+i-1}}\left({t}\right) \\ & -{{V}}_{{F}}\left( \Delta {{x}}_{{n+i-1}}\left({t}-{{\tau }}\right)\right)]+\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\omega }}_{{i}}{{a}}_{{n+i-1}} \end{split}$

(6)

为了简化运算 $\Delta {x}_{n}\left({t-}\tau \right)$ , 对 $\Delta {x}_{n}\left({t-}\tau \right)$ 进行泰勒展开, 并通过:

$ \Delta {x}_{n}\left({t-}\tau \right)=\Delta {x}_{n}(t)+\tau \Delta {v}_{n}\left(t\right) $

(7)

对其进行忽略其非线性项.

同理可得:

$\begin{split} {V}\left(\Delta {x}_{n}\left({t-}\pi \right)\right)& = {V}\left(\Delta {x}_{n}\left({t}\right)-\tau \Delta {v}_{n}\left({t}\right)\right)\\ & ={V}\left(\Delta {x}_{n}\left({t}\right)\right)-\tau \Delta {v}_{n}\left(t\right){{V}}^{'}\left(\Delta {x}_{n}\left({t}\right)\right) \end{split}$

(8)

将式(8)的结果带入式(6)得:

$\begin{split} \frac{{d}{{v}}_{{n}}\left({t}\right)}{{dt}}=&{{{\alpha }}}\left[{P}{{V}}_{{F}}\right(\Delta {{x}}_{{n}}\left({t}\right)+\left({1-P}\right){{V}}_{{B}} \\ & \left(\Delta {{x}}_{{n-1}}\left({t}\right)\right)-{{v}}_{{n}}\left({t}\right)\left)\right]+\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\lambda }}_{{i}}\Delta {{v}}_{{n+i-1}}\left({t}\right)\\ & +\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\gamma }}_{{i}}{{\tau }}\Delta {{v}}_{{n+i-1}}\left({t}\right){{V}}_{{F}}^{'}\left(\Delta {{x}}_{{n+i-1}}({t})\right)\\ & +\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\omega }}_{{i}}{{a}}_{{n+i-1}}) \end{split}$

(9)

2 线性稳定性分析

在周期边界条件下, 对BL-MVDAM模型进行线性谱波微扰法^[18]进行稳定性分析, 即对一个匀速行驶的跟驰车流, 施加一个轻微的扰动, 如稍微调整车辆位置, 使交通系统略微偏离原始的稳定状态, 以便对扰动的传播变化规律进行研究^[19].

其周期边界条件设为: 假设给定初始状态为稳定态, 车辆的车头间距均匀分布, 都为h, 则其对应的优化速度为 ${V}\left(t\right)$ . 则每一辆车的初始位置为:

$ {{x}}_{n}^{\left(0\right)}\left(t\right)={V}\left({h}\right)t+hn $

(10)

给稳定交通系统中施加一个扰动:

$ {{y}}_{n}\left(t\right)={{e}}^{jkn+{{{\textit{z}}}}t} $

(11)

则每辆车的位置转变为:

${{x}}_{n}\left(t\right)={{x}}_{n}^{\left(0\right)}\left(t\right)+{{y}}_{n}\left(t\right) $

(12)

则有:

$ \Delta {x}_{n}(t)=h+\Delta {y}_{n}(t)$

(13)

$\frac{{{d}}^{2}{{y}}_{{n}}\left(t\right)}{{{d}{t}}^{2}}=\frac{{{d}{V}}_{{n}}\left(t\right)}{{d}{t}} $

(14)

${V}\left(\Delta {{x}}_{{n}}\left({t}\right)\right)={V}\left({h}\right)+{{V}}^{'}\left({h}\right)\Delta {{y}}_{{n}}\left({t}\right) $

(15)

${{V}}_{{n}}\left({t}\right)={V}\left({h}\right)+\frac{{d}{{y}}_{{n}}\left({t}\right)}{{dt}} $

(16)

联立式(15)、式(16)得:

$\begin{split} &{P}{{V}}_{{F}}(\Delta {{x}}_{{n}}({t}))+\left({1}-{P}\right){{V}}_{{B}}\left(\Delta {{x}}_{{n-1}}({t})\right)-{{v}}_{{n}}({t})\\ & =P{{V}}_{{F}}^{'}({h})\Delta {{y}}_{{n}}({t})+({1}-{P}){{V}}_{{B}}\left({h}\right)\Delta {{y}}_{{n-1}} -\frac{{d}{{y}}_{{n}}({t})}{{dt}} \end{split}$

(17)

将式(13)–式(16)带入式(17)中得到关于 $ {y}_{n}\left(t\right) $ 的微分方程:

$\begin{split} &\frac{{{d}}^{2}{{y}}_{{n}}\left(t\right)}{{{d}{t}}^{2}}=\alpha \left[ {{{PV}}_{{F}}^{'}\left({h}\right){\Delta {y}}_{{n}}({t})+\left({1-P}\right)} \right. \\ &\left. { {{V}}_{{B}}\left({h}\right){\Delta {y}}_{{n-1}}\left({t}\right)-\frac{{{dy}}_{{n}}\left({t}\right)}{{dt}}} \right]+\sum\limits_{{i}=1}^{{k}}{{\lambda }}_{{i}}\frac{{{dy}}_{{n}+{i-1}}}{{dt}} \\ & +\sum\limits_{{i}=1}^{{k}}{\gamma }_{i}\tau {{V}}^{'}\left(\Delta {{x}}_{{n}+{i-1}}\left(t\right)\right)\frac{{d}\Delta {{y}}_{{n}+{i-1}}\left(t\right)}{{dt}} \\ & +\sum\limits_{{i}=1}^{{k}}{\omega }_{i}\frac{{{d}}^{2}{{y}}_{{n}+{i-1}}\left(t\right)}{{{dt}}^{2}} \end{split}$

(18)

其中, $\left\{ {\begin{array}{l} {{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)=\dfrac{{d}{{V}}_{{F}}(\Delta {{x}}_{{n}})}{{d}\Delta {{x}}_{{n}}}\left|\Delta {{x}}_{{n}}=h\right.,\\ {{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)=\dfrac{{d}{{V}}_{{B}}(\Delta {{x}}_{{n}})}{{d}\Delta {{x}}_{{n}}}\left|\Delta {{x}}_{{n}}=h\right..\end{array}} \right.$

由 ${{y}}_{{n}}\left(t\right)={{e}}^{jkn+{{{\textit{z}}}}t}$ , 并且设 ${{e}}^{jkn+{{{\textit{z}}}}t}={{e}}^{\beta }$ , 然后对式(16)进行Fourier展开可得:

$\begin{split} {{{\textit{z}}}}^{{2}}{{e}}^{{\beta }}=&{\alpha }{{e}}^{{\beta }}({P}{{V}}_{{F}}^{'}\left({h}\right)\left({{e}}^{{jk}}{-1}\right)+\left({1-P}\right) \\ & {{V}}_{{B}}^{'}\left({h}\right)\left({1-}{{e}}^{{-jk}}\right){-{\textit{z}}}{)}+\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\lambda }}_{{i}}{{\textit{z}}}{{e}}^{{\beta }}\left({{e}}^{{jk}}{-1}\right)\\ & +\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\gamma }}_{{i}}{{\tau }}{{V}}_{{F}}^{'}\left({h}\right){{\textit{z}}}{{e}}^{{\beta }}\left({{e}}^{{jk}}{-1}\right) +{{{\textit{z}}}}^{{2}}\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\omega }}_{{i}}{{e}}^{{ikj}}\left({{e}}^{{\beta }}\right) \end{split}$

(19)

简化式(19)得:

$\begin{split} {{{{\textit{z}}}}}^{2}=&\alpha (P{V}_{F}^{'}(h)\left({e}^{{jk}}-1\right)+\left(1-P\right) \\ & {{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)\left({e}^{{jk}}-1\right)-{{{\textit{z}}}}){{V}}_{{B}}^{'}\left({h}\right)\left({1-}{{e}}^{{-jk}}\right){-{{{\textit{z}}}}}{)} \\ & +\sum\limits_{{i=1}}^{{k}}{{\lambda }}_{{i}}{{\textit{z}}}{{e}}^{{\beta }}\left({{e}}^{{jk}}{-1}\right)+\sum\limits_{i=1}^{k}{\lambda }_{i}{{{\textit{z}}}}\left({e}^{{jk}}-1\right)\\ & +\sum\limits_{i=1}^{k}{\gamma }_{i}\tau {{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right){{{\textit{z}}}}\left({e}^{{jk}}-1\right) +{{{{\textit{z}}}}}^{2}\sum\limits_{i=1}^{k}{\omega }_{i}{e}^{{jk}({i-1})} \end{split}$

(20)

对 ${{y}}_{{n}}(t)$ 进行傅里叶级数展开, 并将参数z展开为 ${{{{\textit{z}}}}={{{\textit{z}}}}_{1}\left({i}{k}\right)+{{{\textit{z}}}}_{2}\left({i}{k}\right)}^{2}$ , 根据 $\left({i}{k}\right)$ , ${\left({i}{k}\right)}^{2}$ 系数对应可得:

$\begin{split} {{{{\textit{z}}}}}_{1}=& P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)+\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right); \\ & {{{{\textit{z}}}}}_{2}=\frac{1}{2}\left[P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)\right] \\ & -\frac{{{{{\textit{z}}}}}_{1}^{2}-\displaystyle\sum_{{i}=1}^{{k}}{\lambda }_{i}{{{{\textit{z}}}}}_{1}-\displaystyle\sum_{{i}=1}^{{k}}{\gamma }_{i}\tau {{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right){{{{\textit{z}}}}}_{1}}{\alpha } -\frac{{{{{\textit{z}}}}}_{1}^{2}\displaystyle\sum_{{i}=1}^{{k}}{\omega }_{i}}{a} \end{split}$

(21)

若 ${{{{\textit{z}}}}}_{2}$ 为正, 则交通系统保持稳定状态, 反之, 若 ${{{{\textit{z}}}}}_{2}$ 为负数, 则交通系统无法保证稳定性^[20]. 为了方便表示令:

${{M}}=P{V}_{F}^{'}\left(h\right)+\left(1-P\right){V}_{B}^{'}\left(h\right) $

(22)

则由式(21)可得临界稳定性曲线方程为:

$\begin{split} {\alpha }=&\frac{2{M}^{2}}{P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)} -\frac{2\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{\lambda }_{i}M}{P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)} \\ & -\frac{\displaystyle\sum_{{i}=1}^{{k}}{\gamma }_{i}\tau {{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right){M}}{P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)}+ \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{\omega }_{i}M^{2}}{P{V}_{F}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){V}_{B}^{'}\left(h\right)} \end{split}$

(23)

则当车头间距满足下式条件时, 交通系统处于稳定状态.

$\begin{split} &{\alpha }>\frac{2{M}^{2}}{P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)} -\frac{2\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{\lambda }_{i}M}{P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)} \\ & -\frac{\displaystyle\sum_{{i}=1}^{{k}}{\gamma }_{i}\tau {{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)M}{P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)} +\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{\omega }_{i}M^{2}}{P{V}_{F}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){V}_{B}^{'}\left(h\right)} \end{split}$

(24)

当车头间距满足下式条件时, 交通系统处于不稳定状态.

$\begin{split} &{\alpha }<\frac{2{M}^{2}}{P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)} -\frac{2\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{\lambda }_{i}M}{P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)} \\ & -\frac{\displaystyle\sum_{{i}=1}^{{k}}{\gamma }_{i}\tau {{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right){M}}{P{{V}}_{{F}}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){{V}}_{{B}}^{'}\left(h\right)} +\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{\omega }_{i}M^{2}}{P{V}_{F}^{'}\left(h\right)-\left(1-P\right){V}_{B}^{'}\left(h\right)} \end{split}$

(25)

图1为OV模型, FVD模型, MVD模型, BLVD模型和BL-MVDAM模型(考虑3辆前导车)的稳定性边界曲线对比图, 其中优化速度函数使用式(3)所示函数. 通过对比图1中的曲线, 我们可以清楚地发现, 与其他模型相比, BL-MVDAM模型的稳定性区域更大, 不稳定区域更小. 从现行稳定性的角度来看, BL-MVDAM模型比上述模型具有更好的稳定性.

图2为BL-MVDAM模型在取不同前导车数量时的车头间距与驾驶员敏感系数相位图对, 曲线上方为稳定区域, 下方为不稳定区域. 通过观察图2中的曲线可以发现, 当我们考虑信息联合的前导车数量合理时, 交通系统的稳定性区域也在逐步增大, 表明引入多前车的信息有利于交通流的稳定性.

由图3可以发现, 当P值不同时, 跟驰系统的稳定性也会发生改变. 观察中稳定性线可以发现, 在车联网环境下, 当我们考虑多辆前车信息联合(选取合理的前车数量)时, 并且增强对后车的关注程度可以明显提高跟驰系统的稳定性. 由此可以证明, BL-MVDAM模型在车联网环境下, 考虑多导车的数量以及后视效应对交通系统稳定性有实际意义.

3 数值仿真与模拟

利用数值仿真和模拟对BL-MVDAM模型的稳定性进行验证和分析.

测试环境参照文献[9]设置如下: 选取一个总长度为L=400 m的环形道路, 均匀分布着N=100辆车, 安全车头距离为初始车距, 即 $ {H}_{c} $ =4 m, 车辆的最大速度取7.2 km/h (即2 m/s), $ {\alpha }_{1} $ , $ {\alpha }_{2} $ 均取1, 驾驶员的最优速度敏感系数^[21]取为 $\mathrm{\alpha }=0.85$ , 根据文献[22]设置多前车速度差敏感系数取为 $ {\lambda }_{i} $ ={0.15, 0.05, 0.01}, 根据文献[20]设置最优速度随记忆项改变的敏感系数取为 $ {\gamma }_{i} $ ={0.2, 0.15, 0.1}, 多前车加速度敏感系数取值为 $ {\omega }_{i} $ ={0.1, 0.08, 0.06}, 记忆步长 $ \tau $ =0.2 s, 设置采样间隔为0.2 s.

给稳定车流的第100辆车施加一个轻微扰动, 车辆初始状态为:

${x}_{n}\left(0\right)=\frac{\left(n-1\right)L}{N},\left(n=1,2,\cdots ,99\right) $

(26)

${v}_{n}\left(0\right)=P{{V}}_{{F}}\left(\frac{L}{N}\right)+\left(1-P\right){{V}}_{{B}}\left(\frac{L}{N}\right)$

(27)

${x}_{100}\left(0\right)=\frac{\left(n-1\right)L}{N}+0.3 $

(28)

3.1 仿真环境1

测试只考虑紧贴车的情况下, P, $ \lambda $ , $ \omega $ 参数对跟驰车流稳定性的影响.

图4是不同P值下, 100辆车的速度分布对比图, 经分析可以看出, 当其他参数保持一定时( $ \lambda $ =0.3, $ \gamma $ =0.2, $ \omega $ =0.1)时, 施加扰动后, 车流速度开始出现波动. 并且与施加扰动的第N辆车相距越近的车辆的速度波动就越明显, 并且随着时间的推移, 车辆速度慢慢趋于稳定, 交通流呈现较为稳定状态. 由图中可以发现P=0.8时的速度变化波动率明显小于P=1和P=0.9时的速度变化波动率^[23], 并且时间的推移, P=0.8的跟驰车流速度波动率收敛到一个较小的值(向上波动率为4.60%, 向下波动率为5.32%), 而P=0.9的跟驰车流波动率(向上波动率为7.13%, 向下波动率为10.13%)和P=1.0的跟驰车流波动率(向上波动率为12.79%, 向下波动率为11.05%)仍处于一个较大的值. 因此为了更好地进行数值模拟, 所以在后续仿真过程中我们设置P=0.8.

图5和图6分别是不同 $ \omega $ 和不同 $ \lambda $ 值下车头间距的变化图. 对其进行分析, 可以发现当其他参数保持一致时(P=0.8, $ \gamma $ =0.2), $ \lambda $ 和 $ \omega $ 的取值发生改变时, 都会对车头间距产生影响^[22]. 通过对比t=100 s和t=300 s时刻的100辆车的车头间距变化(即将图5(a)和图5(b)进行对比, 图6(a)和图6(b)进行对比), 可以发现, 车头间距的波动幅度随着λ和 $ \omega $ 取值的不同发生着明显的变化. 并且当 $ \lambda $ =0.3时的车头间距波动幅度明显小于 $ \lambda $ =0和0.1时, 当 $ \omega $ =0.3时车头间距波动幅度明显小于 $ \omega $ =0和 $ \omega $ =0.1时. 并且随着时间的推移, $ \lambda $ =0.3和 $ \omega $ =0.3车队的车头间距波动幅度越来越小, 而其他两种情况的跟驰车流的车头间距波动幅度越来越大. 由此可以说明, 前导车的加速度信息和速度差信息确实对跟驰模型的稳定性有着促进作用.

综上所述, 在跟驰模型中引入后视效应和多前导车速度差信息以及加速度信息, 有利于交通系统的稳定性, 具有实际意义.

3.2 仿真环境2

模拟多前车情况下, 前车数(含跟驰车) $ k $ 对交通流稳定性的影响.

多前车参数设置为 $ {\lambda }_{i} $ ={0.15, 0.05, 0.01}, $ {\gamma }_{i} $ ={0.2, 0.15, 0.1} $ {,\omega }_{i} $ ={0.1, 0.08, 0.06}. $ k $ 的取值为1、2、3、5. 车辆初始状态均与仿真环境1相同, 对第100辆车施加轻微扰动(即 $ {x}_{100}\left(0\right)=(n-1)L/N+0.3) $ 后进行仿真, 分别对t=100 s和t=300 s时的测试结果进行分析.

图7是不同k值下车头间距变化对比图. 通过对t=100 s和t=300 s时刻考虑不同前车数量时跟驰车流的车头间距进行对比, 可以明显看出从 $ k $ =1, $ k $ =2到 $ k $ =3随着 $ k $ 值的增加, 车头间距的波动幅度一直在减少(即稳定区域一直在扩大). 而在 $ k $ =5时, 其波动幅度超过了 $ k $ =3的波动幅度(即其不稳定区域超过了 $ k $ =3时), 这是因为当我们考虑的前车距离跟驰车距离很远的时候, 就会产生很多干扰信息, 反倒不利交通系统的稳定性. 对比图7(a)和图7(b)我们可以发现随着时间的推移, 当我们考虑前导车数量为3时, 跟驰系统逐渐趋于稳定, 而当我们考虑的前车数量不合适的情况下(即过少如 $ k $ =1或 $ k $ =2, 过多如 $ k $ =5时)跟驰系统仍处于较大的波动中, 维持不稳定状态. 因此在后面的仿真过程中, 我们的 $ k $ 值取3.

由图7可以发现, 后50辆车(即第51–100辆车)的波动幅度明显高于, 前50辆车(即第1–50辆车). 因此为了验证 ${{k}}$ =3时, 跟驰系统的稳定性最高, 因此我们选取第85, 80, 75辆车的运动状态进行采样, 并绘制其在考虑不同前车数量的情况下的速度变化图如图8所示.

对第75辆车, 第80辆车和第85辆车的运动情况进行采样, 并绘制不同 $ k $ 值下的车速分布对比图(即图8). 可以明显发现随着时间的推移, 当我们考虑的前车信息过少( $ k $ =1或者 $ k $ =2)或者过多时( $ k $ =5), 车辆的速度的波动幅度都会增加, 而当我们考虑合适的前车数量时( $ k $ =3)车辆速度的波动幅度会随着时间推移逐渐变小, 交通流也会逐渐恢复稳定. 因此在跟驰模型中, 考虑合适数量的前车的行驶信息对跟驰车流的稳定性有实际意义.

3.3 仿真环境3

将FVD模型, MVD模型, BLVD模型与BL-MVDAM模型进行速度波动率对比, 验证引入后视效应和多车信息的跟驰模型的稳定性.

当前导车数量为1时, 设置参数为 $ \lambda $ =0.15, $ \gamma $ =0.2, $ \omega $ =0.1, P=0.8; 当考虑多车时, 设置 $ k $ =3, $ \lambda $ , $ \gamma $ , $ \omega $ 取值与仿真环境2使用同样参数, 车辆初始状态均与仿真环境1相同. 对t=100 s, t=200 s, t=300 s时车速进行数据采集然后整理. 图9是不同采样时刻下, FVD模型, MVD模型, OVCM模型, BLVD和BL-MVDAM模型速度波动率对比图(包括平均速度波动率, 向上速度波动率和向下速度波动率).

对图9进行分析, 可以看出来在不同的采样时刻下FVD模型, MVD模型, OVCM模型以及BLVD模型的速度的波动率均较大, 并且随着时间的推移, 其波动幅度越来越大, 表明在交通系统中, 扰动会一直发展, 将会严重影响到交通系统的稳定性. 而BL-MVDAM模型的波动率最小, 说明扰动对该模型影响较小, 并且随着时间的推移, 可以在较短时间内对交通系统的扰动进行控制. 因此可以证明在后视效应的前提下, 引入合理数量的多前车信息具有一定的实际意义.

4 结束语

在车联网的环境下, 基于车-车信息联合的前提, 提出考虑后视效应和多前车信息的跟驰模型BL-MVDAM模型, 并且根据稳定性分析图可以看出, BL-MVDAM模型的稳定性区域大于OV, FVD等模型的稳定性区域. 根据数值模拟和仿真可以看出: 在实际交通流中考虑后视效应, 多前车的加速度信息, 速度差信息及历史行驶信息是有实际意义的; 设置合理数量的前车信息(在我们的仿真模拟中选择3辆车), 有利于增强跟驰车流的稳定性. 但是本模型并不完善, 并没有考虑不同车型以及车辆周边环境等对驾驶的影响, 这将是本文以后的研究方向.