灰色关联分析是灰色系统理论中的一个重要方法, 通常能降低问题的复杂度, 并获得量化的结果. 其主要思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断序列之间的联系是否紧密, 一般而言, 曲线越接近, 相应序列之间的关联度就越大, 反之就越小^[1]. 基于邓聚龙教授提出的灰色关联分析模型, 学者们在理论研究和实际应用中都取得了丰硕的成果^[2–4].

考虑到决策者在进行决策时常常不是完全理性的, 而是具备有限理性的决策特征, 美国心理学家Kahne- man^[5]结合心理学的相关理论于1979年提出了前景理论, 该理论考虑了决策者在决策过程中的心理活动和行为特征, 可以更加现实地反映和描述决策者的实际决策过程. 近年来, 前景理论已成为决策领域的研究热点之一. 文献[6,7]应用前景理论解决风险型混合多准则决策问题. 文献[8]构建了基于证据理论和前景理论的拓展型VIKOR法解决犹豫-直觉模糊语言不确定多准则决策问题. 文献[9]结合前景理论和逼近理想解法解决犹豫模糊多属性决策问题. 文献[10]结合前景理论和灰色关联分析的思想给出了一种基于二元语义前景关联分析的风险型多准则决策方法.

由于现实多属性决策问题的复杂性, 决策者有时更乐于使用语言术语^[11]表达自己的偏好. 然而, 语言评价信息在处理过程中往往存在信息失真和丢失的问题. 为此, 西班牙学者Herrera^[12]提出利用二元语义模型描述语言评价信息, 避免了以往研究的缺陷. 该模型用2元组表示语言信息, 这个2元组由一个语言术语和在[–0.5, 0.5)中的一个数值组成. 考虑到决策者可能会在[–0.5, 0.5)中的几个值之间犹豫, Beg^[13]给出了犹豫二元语义信息模型的概念. 该模型含有一个语言术语和几个可能的符号转移值, 比二元语义模型更好地表达了决策问题中的模糊性和不确定性, 因而有必要研究基于犹豫二元语义信息的多属性群决策问题.

基于以上分析, 本文汲取前景理论和灰色关联分析法的优点, 提出了一种犹豫二元语义多属性群决策方法. 该方法确定了专家权重和属性权重, 定义了新的犹豫二元语义评价信息间的比较方法, 基于前景理论和灰色关联系数确定犹豫二元语义前景价值函数, 并根据各方案的收益损失比值对方案进行排序. 该方法在灰色关联分析法的基础上考虑到了决策者的有限理性行为, 从而可以得到更加合理的决策结果.

1 基础概念 1.1 犹豫二元语义术语集

犹豫二元语义信息模型是用来处理用一个语言术语描述并且决策者在可能的符号转移值之间感到犹豫不决的情况.

定义1^[13]. 设 $X$ 为一论域, $S = \left\{ {{s_0},{s_1}, \cdots ,{s_g}} \right\}$ 为语言术语集, 则 $X$ 上的一个犹豫二元语义术语集 $A$ 可表示为:

$A = \left\{ {\left. {\left( {x,h\left( x \right)} \right)} \right|x \in X} \right\}$

其中, $h\left( x \right) = \left( {{s_i},{\alpha _{ij}}} \right)$ , ${s_i}$ 为 $S$ 上的一个语言术语, ${\alpha _{ij}} = \left\{ {\left. {{a_k}} \right|} \right. $ ${ {k=1,2, \cdots ,} l( {{\alpha _{ij}}} )} \}$ 是[–0.5, 0.5)上的一个有限子集, 表示 ${s_i}$ 可能的符号转移值. $l\left( {{\alpha _{ij}}} \right)$ 表示 ${\alpha _{ij}}$ 中符号转移值的个数. 称 $h\left( x \right)$ 为犹豫二元语义元, 简记为 $h = h\left( x \right)$ .

下面给出两个犹豫二元语义元的优劣比较方法.

定义2. 设 $\left( {{s_i},{\alpha _{ij}}} \right)$ 与 $\left( {{s_l},{\alpha _{lm}}} \right)$ 是两个任意的犹豫二元语义元, ${\alpha _{ij}} = \left\{ {\left. {{a_k}} \right|k = 1,2, \cdots ,l\left( {{\alpha _{ij}}} \right)} \right\}$ , ${\alpha _{lm}} = \left\{ {\left. {{b_n}} \right|} \right. n = 1,$ $\left.{\left. {2, \cdots ,}\right. l\left( {{\alpha _{lm}}} \right)} \right\}$ , 则犹豫二元语义元的序关系定义如下:

(1) 若 ${s_i} > {s_l}$ , 则 $\left( {{s_i},{\alpha _{ij}}} \right) \succ \left( {{s_l},{\alpha _{lm}}} \right)$

(2) 若 ${s_i} = {s_l}$ , 则:

1) 若 $e\left( {{\alpha _{ij}}} \right) > e\left( {{\alpha _{lm}}} \right)$ , 则 $\left( {{s_i},{\alpha _{ij}}} \right) \succ \left( {{s_l},{\alpha _{lm}}} \right)$

2) 若 $e\left( {{\alpha _{ij}}} \right) = e\left( {{\alpha _{lm}}} \right)$ , 则 $\left( {{s_i},{\alpha _{ij}}} \right) \sim \left( {{s_l},{\alpha _{lm}}} \right)$

其中, $e\left( {{\alpha _{ij}}} \right) = \dfrac{1}{{l\left( {{\alpha _{ij}}} \right)}}\displaystyle\sum\limits_{{a_k} \in {\alpha _{ij}}} {{a_k}} $ , $e\left( {{\alpha _{lm}}} \right) = \dfrac{1}{{l\left( {{\alpha _{lm}}} \right)}}\displaystyle\sum\limits_{{b_n} \in {\alpha _{lm}}} {{b_n}} $ .

定义3^[13]. 设 $\left( {{s_i},{\alpha _{ij}}} \right)$ 与 $\left( {{s_l},{\alpha _{lm}}} \right)$ 是两个任意的犹豫二元语义元, ${\alpha _{ij}} = \left\{ {\left. {{a_k}} \right|k = 1,2, \cdots ,l\left( {{\alpha _{ij}}} \right)} \right\}$ , ${\alpha _{lm}} = \left\{ {\left. {{b_n}} \right|} n = 1,\right. $ $\left.{\left. {2, \cdots ,}\right. l\left( {{\alpha _{lm}}} \right)} \right\}$ , 则 $\left( {{s_i},{\alpha _{ij}}} \right)$ 和 $\left( {{s_l},{\alpha _{lm}}} \right)$ 之间的距离定义如下:

$\begin{array}{l} d\left( {\left( {{s_i},{\alpha _{ij}}} \right),\left( {{s_l},{\alpha _{lm}}} \right)} \right) = \left| {i - l} \right| + \\ \max \left\{ {\mathop {\max }\limits_{{a_k} \in {\alpha _{ij}}} \left\{ {\mathop {\min }\limits_{{b_n} \in {\alpha _{lm}}} \left( {\left| {{a_k} - {b_n}} \right|} \right)} \right\},\mathop {\max }\limits_{{b_n} \in {\alpha _{lm}}} \left\{ {\mathop {\min }\limits_{{a_k} \in {\alpha _{ij}}} \left( {\left| {{a_k} - {b_n}} \right|} \right)} \right\}} \right\} \end{array}$

(1)

1.2 前景理论

前景理论是Kahneman提出的一种基于“有限心理”的决策理论, 该理论包含价值函数和决策权重函数两个核心要素^[7]. 其中, 价值函数是基于决策者的认知和心理因素, 对效用函数进行改进得到的. 通过不断地实验, Tversky和Kahneman^[14]提出了幂函数形式的价值函数:

$v\left( {\Delta x} \right) = \left\{ \begin{array}{l} {\left( {\Delta x} \right)^\alpha },\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x \ge 0\\ - \theta {\left( { - \Delta x} \right)^\beta }{\rm{,}}\;\;\Delta x < 0 \end{array} \right.$

(2)

其中, $\Delta x$ 表示与参考点比较之后的价值得失, $\Delta x \geqslant 0$ 表示获得收益, $\Delta x < 0$ 表示遭受损失. $\alpha $ 、 $\beta $ 分别表示收益和损失区域的风险态度系数, 满足 $0 < \alpha ,\beta < 1$ . $\theta $ 为损失规避系数, 若 $\theta > 1$ , 则决策者对损失更敏感.

2 基于前景理论的犹豫二元语义灰关联群决策法

设犹豫二元语义多属性群决策问题中的方案集为 $A = \left\{ {{A_1},{A_2}, \cdots ,{A_m}} \right\}$ , 属性集为 $C = \left\{ {{C_1},{C_2}, \cdots ,{C_n}} \right\}$ , 决策群体为 $E = \left\{ {{e_1},{e_2}, \cdots ,{e_t}} \right\}$ . 用 ${{{W}}^k} = {\left( {\omega _1^k,\omega _2^k, \cdots ,\omega _n^k} \right)^{\rm{T}}}$ 表示决策者 ${e_k}\left( {k = 1,2, \cdots ,t} \right)$ 所给决策矩阵中的属性权重向量, $\omega _j^k \in \left[ {0,1} \right]$ , 并且满足 $\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^n {\omega _j^k} = 1$ . 用 ${{\lambda }} = {\left( {{\lambda _1},{\lambda _2}, \cdots ,{\lambda _t}} \right)^{\rm{T}}}$ 表示决策者的权重向量, ${\lambda _k} \in \left[ {0,1} \right]$ , 并且满足 $\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^t {{\lambda _k}} = 1$ . 设 ${{{X}}^k} = {\left( {h_{ij}^k} \right)_{m \times n}}$ 表示决策者 ${e_k}$ 对候选方案集 $A$ 在属性集 $C$ 下的决策矩阵, 其中, $h_{ij}^k = \left( {s_i^k,\alpha _{ij}^k} \right)$ 表示决策者 ${e_k}$ 对候选方案 ${A_i}$ 在属性 ${C_j}$ 下的犹豫二元语义评价值.

决策者权重和属性权重分别反映了决策者在决策群体中、属性在属性集中的相对重要程度, 权重系数的大小将直接影响评估结果的合理性, 因此, 本文将基于决策者给出的决策信息利用灰关联分析法确定决策者权重, 利用偏差最大化法确定属性权重.

2.1 决策者权重的确定

灰色关联分析法是基于曲线几何形状的相似程度的思想来分析各因素间的关联程度的. 本文利用灰色关联分析法确定决策者权重, 首先通过矩阵拉直运算将各决策者所给决策矩阵分别按行拉直成一个长向量, 然后比较各决策者所给决策信息与其他决策者的决策信息之间的差异. 差异越小, 说明与决策群体的决策结果越接近, 关联程度就越大, 则赋予该决策者的权重就越大. 决策者权重的具体求解过程如下:

(1) 将决策者 ${e_k}\left( {k = 1,2, \cdots ,t} \right)$ 所给决策矩阵 ${{{X}}^k} = {\left( {h_{ij}^k} \right)_{m \times n}}$ 按行依次拉直成一个长向量 ${\bar {{X}}^k}$ , 即:

$ \begin{array}{l} {{\bar {{X}}}^k} = {\left( {{h^k}\left( s \right)} \right)_{1 \times mn}} = \left( {h_{11}^k,h_{12}^k, \cdots ,h_{1n}^k,h_{21}^k,h_{22}^k, \cdots ,h_{2n}^k, \cdots ,} \right.\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left. {h_{m1}^k,}{h_{m2}^k, \cdots ,h_{mn}^k} \right)_{1 \times mn}},s = 1,2, \cdots ,mn. \end{array} $

(2) 取决策者 ${e_k}\left( {k = 1,2, \cdots ,t} \right)$ 的决策信息 ${\bar {{X}}^k}$ 为参考序列, 决策群体的决策信息 ${\bar {{X}}^1},{\bar {{X}}^2}, \cdots ,{\bar {{X}}^t}$ 为比较序列, 则决策者 ${e_k}$ 与第 $l$ 个决策者 ${e_l}$ 的关联系数为:

$ r_l^k\left( s \right) = \frac{{\mathop {\min }\limits_l \mathop {\min }\limits_s d\left( {{h^k}\left( s \right),{h^l}\left( s \right)} \right) + \rho \mathop {\max }\limits_l \mathop {\max }\limits_s d\left( {{h^k}\left( s \right),{h^l}\left( s \right)} \right)}}{{d\left( {{h^k}\left( s \right),{h^l}\left( s \right)} \right) + \rho \mathop {\max }\limits_l \mathop {\max }\limits_s d\left( {{h^k}\left( s \right),{h^l}\left( s \right)} \right)}} $

(3)

其中, $\rho $ 为分辨系数, 且 $\rho \in \left( {0,1} \right)$ , $\rho $ 越小, 分辨率越高, 一般取 $\rho = 0.5$ . 于是, 决策者 ${e_k}$ 与第 $l$ 个决策者 ${e_l}$ 的关联度为:

$r_l^k = \frac{1}{{mn}}\sum\limits_{s = 1}^{mn} {r_l^k\left( s \right)} $

(4)

(3) 确定决策者 ${e_k}\left( {k = 1,2, \cdots ,t} \right)$ 与决策群体的平均关联度为:

${r^k} = \frac{1}{t}\sum\limits_{l = 1}^t {r_l^k} $

(5)

(4) 确定决策者 ${e_k}\left( {k = 1,2, \cdots ,t} \right)$ 的权重, 即:

${\lambda _k} = {{{r^k}} / {\sum\limits_{l = 1}^t {{r^l}} }}$

(6)

2.2 属性权重的确定

偏差最大化法是王应明^[15]提出的一种确定属性权重的方法. 根据该法的思想, 如果属性C_j下候选方案的评价值之间有显著的差异, 那么属性C_j在决策过程中扮演着相对重要的角色, 则赋给属性C_j的权重应越大, 反之则越小. 基于偏差最大化方法构建如下的优化模型来求解决策者 ${e_k}$ 所给的犹豫二元语义决策矩阵 ${{{X}}^k}$ 中的属性权重:

$\left\{ \begin{array}{l} \max D\left( {{\omega ^k}} \right) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^n {\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {\displaystyle\sum\limits_{l = 1}^m {\omega _j^kd\left( {h_{ij}^k,h_{lj}^k} \right)} } } \\ {\rm {s.t.}} \; \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( {\omega _j^k} \right)}^2}} = 1,\omega _j^k > 0, \; j = 1,2, \cdots ,n \end{array} \right.$

(7)

其中, $D\left( {{\omega ^k}} \right)$ 表示所有方案与其他方案的总偏差值, $d\left( {h_{ij}^k,h_{lj}^k} \right)$ 表示决策者 ${e_k}$ 对候选方案 ${A_i},{A_l}$ 在属性 ${C_j}$ 下的犹豫二元语义评价值 $h_{ij}^k$ 与 $h_{lj}^k$ 之间的距离. 利用拉格朗日乘数法求解上述模型可得:

$\omega _j^k = \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{l = 1}^m {{{d\left( {h_{ij}^k,h_{lj}^k} \right)} / {\sqrt {\sum\nolimits_{j = 1}^n {{{\left[ {\sum\nolimits_{i = 1}^m {\sum\nolimits_{l = 1}^m {d\left( {h_{ij}^k,h_{lj}^k} \right)} } } \right]}^2}} } }}} } $

(8)

归一化属性权重, 可得:

${\left( {\omega _j^k} \right)^*} = {{\omega _j^k} / {\sum\limits_{j = 1}^n {\omega _j^k} }} \; \left( {j = 1,2, \cdots ,n} \right)$

(9)

2.3 正、负前景值

在前景理论中, 决策者们主要依据收益值和损失值来分析问题, 而收益值和损失值是根据参考点来衡量的, 因而根据不同的参考点得到的收益值和损失值也是不同的. 基于文献[16], 本文以正、负理想方案作为决策参考点. 记正、负理想方案分别为 ${\left( {{A^ + }} \right)^k} = $ $\left( {{{\left( {h_1^ + } \right)}^k}} \right.$ , $\left. {{{\left( {h_2^ + } \right)}^k}, \cdots ,{{\left( {h_n^ + } \right)}^k}} \right)$ , ${\left( {{A^ - }} \right)^k} = \left( {{{\left( {h_1^ - } \right)}^k},{{\left( {h_2^ - } \right)}^k}, \cdots ,{{\left( {h_n^ - } \right)}^k}} \right)$ , 其中,

${\left( {h_j^ + } \right)^k} = \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\max }\limits_i h_{ij}^k,\;\;\;\;\;{\text{效益型属性}}{C_j}\\ \mathop {\min }\limits_i h_{ij}^k,\;\;\;\;\;\;{\text{成本型属性}}{C_j} \end{array} \right.$

(10)

${\left( {h_j^ - } \right)^k} = \left\{ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_i h_{ij}^k,\;\;\;\;\;{\text{效益型属性}}{C_j}\\ \mathop {\max }\limits_i h_{ij}^k,\;\;\;\;\;{\text{成本型属性}}{C_j} \end{array} \right.$

(11)

若以正理想方案 ${\left( {{A^ + }} \right)^k}$ 为参考点, 则若方案 ${A_i}$ 劣于 ${\left( {{A^ + }} \right)^k}$ , 此时对于决策者而言是面临损失的, 并且方案 ${A_i}$ 与 ${\left( {{A^ + }} \right)^k}$ 的关联程度越大损失越小; 若以负理想方案 ${\left( {{A^ - }} \right)^k}$ 为参考点, 则若方案 ${A_i}$ 优于 ${\left( {{A^ - }} \right)^k}$ , 此时对于决策者而言是面临收益的, 并且方案 ${A_i}$ 与 ${\left( {{A^ - }} \right)^k}$ 的关联程度越大收益越小. 因此, 可称:

$v_{ij}^k = \left\{ \begin{array}{l} {\left( {1 - {{\left( {\xi _{ij}^ - } \right)}^k}} \right)^\alpha },\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{以负理想方案为参考点}}\\ - \theta \cdot {\left[ { - \left( {{{\left( {\xi _{ij}^ + } \right)}^k} - 1} \right)} \right]^\beta }{\rm{,}}\;\;\;\;{\text{以正理想方案为参考点}} \end{array} \right.$

(12)

为犹豫二元语义决策矩阵 ${{{X}}^k}$ 中方案 ${A_i}\left( {i \!=\! 1,2, \!\cdots \!,m} \right)$ 在属性 ${C_j}\left( {j = 1,2, \cdots ,n} \right)$ 下的前景价值函数. 其中, ${\left( {\xi _{ij}^ + } \right)^k}$ 和 ${\left( {\xi _{ij}^ - } \right)^k}$ 分别为犹豫二元语义决策矩阵 ${{{X}}^k}$ 中方案 ${A_i}$ 在属性 ${C_j}$ 下与 ${\left( {{A^ + }} \right)^k}$ , ${\left( {{A^ - }} \right)^k}$ 的关联系数. 于是, 记决策矩阵 ${{{X}}^k}$ 中方案 ${A_i}$ 在属性 ${C_j}$ 下的正前景值为 ${\left( {v_{ij}^ + } \right)^k} = $ ${\left( {1 - {{\left( {\xi _{ij}^ - } \right)}^k}} \right)^\alpha }$ , 此时, 可视作收益; 负前景值为 ${\left( {v_{ij}^ - } \right)^k} = - \theta \cdot $ $ {\left[ { - \left( {{{\left( {\xi _{ij}^ + } \right)}^k} - 1} \right)} \right]^\beta }$ , 此时, 可视作损失.

决策者 ${e_k}$ 关于方案 ${A_i}$ 的正、负前景值分别为:

${\left( {v_i^{\rm{ + }}} \right)^k} = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( {\omega _j^k} \right)}^*}{{\left( {v_{ij}^{\rm{ + }}} \right)}^k}} , \; i = 1,2, \cdots ,m,k = 1,2, \cdots ,t$

(13)

${\left( {v_i^ - } \right)^k} = \sum\limits_{j = 1}^n {{{\left( {\omega _j^k} \right)}^{\rm{*}}}{{\left( {v_{ij}^ - } \right)}^k}} , \; i = 1,2, \cdots ,m,k = 1,2, \cdots ,t$

(14)

决策群体关于方案 ${A_i}$ 的正、负前景值分别为:

$v_i^ + = \sum\limits_{k = 1}^t {{\lambda _k}{{\left( {v_i^{\rm{ + }}} \right)}^k}} , \; i = 1,2, \cdots ,m$

(15)

$v_i^ - = \sum\limits_{k = 1}^t {{\lambda _k}{{\left( {v_i^ - } \right)}^k}} , \; i = 1,2, \cdots ,m$

(16)

根据式(17)计算方案 ${A_i}$ 的收益损失比值^[9]:

${R_i} = \left| {{{v_i^ + } / {v_i^ - }}} \right|, \; i = 1,2, \cdots ,m$

(17)

2.4 决策步骤

综合以上分析, 基于前景理论的犹豫二元语义灰关联群决策方法的决策步骤如下:

Step 1. 根据各决策者给出的决策信息构造犹豫二元语义决策矩阵 ${{{X}}^k} = {\left( {h_{ij}^k} \right)_{m \times n}}\left( {k = 1,2, \cdots ,t} \right)$ ;

Step 2. 根据2.1节确定决策者权重;

Step 3. 根据2.2节确定各犹豫二元语义决策矩阵中的属性权重;

Step 4. 根据定义2及式(10)、(11)确定各决策矩阵的犹豫二元语义正、负理想方案;

Step 5. 根据式(13)、(14)分别计算决策者 ${e_k}\left( {k = } \right.1, \left. {2, \cdots ,t} \right)$ 关于各方案的正、负前景值;

Step 6. 根据式(15)、(16)分别计算决策群体关于各方案的正、负前景值;

Step 7. 根据式(17)计算各方案的收益损失比值 ${R_i}\left( {i = 1,2, \cdots ,m} \right)$ ;

Step 8. 将 ${R_i}\left( {i = 1,2, \cdots ,m} \right)$ 按降序排列, 便可得到整个方案集由优到劣的排序.

2.5 区分度

决策者通过各种决策方法对候选方案进行评价, 主要是为了将最优方案从其他方案中区别出来. 因此, 最优方案与第二优方案之间的决策系数^[17](对候选方案进行评价和排序的指标)差异越大, 决策方法的区分度越大, 其决策效果也就越好. 设决策方法的决策系数为 $\delta $ , 针对 $\delta $ 越大越优的情况( $\delta $ 越小越优时用 ${1 / \delta }$ 替换 $\delta $ ), 定义区分度为:

$\eta = \dfrac{{{\delta _{\max }} - {\delta _{\sec }}}}{{{\delta _{\max }}}} \times 100\% $

(18)

其中, ${\delta _{\max }}$ , ${\delta _{\sec }}$ 分别表示决策系数的最大值和第二大值. 不难理解, 灵敏度越大, 决策方法的区分度越大,其决策效果也就越好.

3 算例分析

利用本文方法解决一个犹豫二元语多属性群决策问题, 算例来自文献[13]. 设一家信贷公司要将资金投资于最佳候选企业. 可供选择的投资企业有5个: ${A_1}$ 是一家冰箱公司, ${A_2}$ 是一家食品公司, ${A_3}$ 是一家建筑公司, ${A_4}$ 是电影业, ${A_5}$ 是一家软件公司. 设决策委员会有三位决策者 ${e_k}\left( {k = 1,2,3} \right)$ , 4个属性用来评价候选企业: 增长因子 ${C_1}$ , 税收问题 ${C_2}$ , 风险问题 ${C_3}$ , 社会影响 ${C_4}$ . 其中 ${C_1}$ 与 ${C_4}$ 是收益型属性, ${C_2}$ 与 ${C_3}$ 是成本型属性. 决策者评价时使用的语言术语集为 $S = \left\{ {{s_0},{s_1},{s_2},{s_3},{s_4},{s_5},{s_6}} \right\}$ ={极差, 非常差, 差, 中等, 好, 非常好, 极好}. 三位决策者给出的决策信息如表1–表3所示. 决策步骤如下文.

Step 1. 建立犹豫二元语义决策矩阵 ${{{X}}^k} = {\left( {h_{ij}^k} \right)_{5 \times 4}} \; $ $ \left( {k = 1,2,3} \right)$ .

Step 2. 根据2.1节可得决策者的权重向量为:

${{\lambda }} = {\left( {0.329 \; 9,0.332 \; {\rm{ 6}},0.337 \; 5} \right)^{\rm{T}}}.$

Step 3. 根据2.2节可得犹豫二元语义决策矩阵X^k (k=1, 2, 3)的属性权重向量分别为:

$ \begin{array}{l} {{{W}}^1} = {\left( {0.305\;2,\;0.181\;2,\;0.314\;8,\;0.198\;8} \right)^{\rm{T}}}\\ {{{W}}^2} = {\left( {0.321\;0,\;0.194\;1,\;0.215\;5,\;0.269\;4} \right)^{\rm{T}}}\\ {{{W}}^3} = {\left( {0.164\;5,\;0.271\;1,\;0.222\;4,\;0.342\;1} \right)^{\rm{T}}} \end{array} $

Step 4. 确定各决策矩阵的犹豫二元语义正、负理想方案:

$\begin{array}{l} {\left( {{A^ + }} \right)^1} = (({s_6},\;( - 0.4, - 0.3,0.1))\;({s_2},( - 0.1,0.2,0.3)),\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;({s_1},( - 0.45, - 0.2)),({s_4},( - 0.2,0.1,0.2))) \end{array}$

$\begin{array}{l} {\left( {{A^{\rm{ - }}}} \right)^1} = (({s_2},(0,0.1,0.2)),({s_4},(0.2,0.32,0.45)),\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;({s_5},( - 0.2,0,0.4)),({s_2},( - 0.3,0.1))), \end{array}$

$\begin{array}{l} {\left( {{A^ + }} \right)^2} = (({s_6},(0.2,0.4)),({s_2},( - 0.1,0.2)),({s_1},( - 0.2,0.3)),\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;({s_5},( - 0.1,0.3)) \end{array}$

$\begin{array}{l} {\left( {{A^{\rm{ - }}}} \right)^2} = (({s_1},(0.4)),({s_5},( - 0.1,0,0.1)),({s_4},(0.3,0.4)),\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;({s_1},( - 0.3, - 0.2,0))) \end{array}$

$\begin{array}{l} {\left( {{A^ + }} \right)^3} = (({s_4},( - 0.5,0.1,0.2)),({s_2},( - 0.2, - 0.1,0)),\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;({s_2},(0.1,0.2,0.3)),({s_6},( - 0.05,0.25))) \end{array}$

$ \begin{array}{l} {\left( {{A^ - }} \right)^3} = (({s_2},( - 0.2,0,0.1)),({s_5},(0.2,0.3)),({s_5},( - 0.3, - 0.2)),\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;({s_1},( - 0.3, - 0.2,0))) \end{array} $

Step 5. 根据式(13), (14)分别计算决策者 ${e_k}\left( {k =}\right. $ ${\left. 1, \right.}2, \left. 3 \right)$ 关于方案 ${A_i}\left( {i = 1,2, \cdots ,5} \right)$ 的正、负前景值( $\alpha = $ $ \beta =0.88,\theta = 2.25$ ^[14]), 具体结果如表4、表5所示.

Step 6. 根据式(15)、(16)分别计算决策群体关于方案A_i的正、负前景值: $v_1^ + = 0.328 \; 3$ , $v_2^ + = 0.346{\rm{ 3}}$ , $v_3^ + = 0.223{\rm{ 7}}$ , $v_4^ + = 0.551{\rm{ 5}}$ , $v_5^ + = 0.601{\rm{ 7}}$ , $v_1^ - = - 1.107{\rm{ 7}}$ , $v_2^ - = - 1.000{\rm{ 6}}$ , $v_3^ - = - 1.228{\rm{ 7}}$ , $v_4^ - = - 0.714{\rm{ 6}}$ , $v_5^ - = - 0.356{\rm{ 0}}$ .

Step 7. 根据式(17)得各方案的收益损失比值分别为: R₁ = 0.296 3, R₂ = 0.3461, R₃ = 0.1820, R₄ = 0.7718, R₅ = 1.6904.

Step 8. 将 ${R_i}\left( {i = 1,2, \cdots ,5} \right)$ 按降序排列, 即 ${R_5} > {R_4} >$ $ {R_2} > {R_1} > {R_3}$ , 则 ${A_5} \succ {A_4} \succ {A_2} \succ {A_1} \succ {A_3}$ , 故方案 ${A_5}$ 为最佳候选企业. 优选结果与文献[13]相同.

为了进一步与文献[13] 的方法比较, 下面将对两种方法的区分度进行分析. 将两种方法的决策系数进行标准0-1变换, 如表6所示. 根据式(18)计算两种决策方法的区分度分别为19.5%, 60.9%, 故本文所提方法的区分度更大, 决策效果更好. 与文献[13]相比, 本文所提方法有以下特点: (1)文献[13]没有确定决策者权重和属性权重, 而本文基于各决策者给出的决策信息利用客观赋权法确定决策者权重和属性权重; (2)引入前景理论, 考虑了决策者在面对收益和损失时具有的不同风险偏好, 能够得到反映决策者实际行为的决策结果; (3)以正、负理想方案为参考点, 凭借灰关联系数构造前景价值函数, 直观地刻画了属性值与参考点在各属性下的相关性.

4 结束语

本文提出了一种前景理论与灰关联分析相结合的犹豫二元语义多属性群决策方法. 该方法基于决策者给出的决策信息, 在矩阵拉直运算的基础上利用灰关联分析法确定专家权重, 利用偏差最大化法确定属性权重. 根据前景理论与灰关联分析法确定前景价值函数, 既直观刻画了各方案与理想方案的相关性, 又考虑到了决策者的有限理性行为, 更加符合现实的决策需要. 最后通过一个投资决策算例展现本文所提方法的决策过程, 并通过区分度对本文所提方法和文献[13]的方法进行比较分析, 进一步说明本文所提方法的有效性.