引言

随着数字技术、通信技术的不断发展, 数字图像、视频等多媒体交流形式在人们日常生活中扮着相当重要的角色^[1]. 然而在通信传输过程中, 这些信息的安全性面临到巨大的威胁. 相比现代数字图像具有海量数据、高度相关性的特点, 一些传统的加密算法已不适用于图像加密^[2,3]. 由于混沌系统是非线性的动力系统, 具有初值敏感性、遍历性、随机性等特点, 与图像加密非常契合, 被广泛应用于图像加密领域^[4–9].

文献[10]提出了一种多混沌映射的快速图像加密算法, 该算法加密效率较高. 文献[11]提出了一种利用复合混沌系统的加密算法, 由于低维混沌系统控制参数和初始值个数少, 安全性很低. 文献[12]采用超混沌系统进行图像加密, 密钥空间大, 安全性较高, 但是单一的混沌系统, 算法复杂度低, 不能满足现代图像加密的要求. 文献[13]采用模拟DNA生物操作的方式, 通过伪DNA计算来实现信息加密, 成为信息加密算法的新热点. 文献[14]提出了结合混沌系统和DNA动态编码的图像加密算法, 然而由于DNA运算规则单一, 导致加密算法复杂度不够.

结合上述, 针对低维混沌系统和单一的DNA加密方案的空间小、复杂度低等问题, 本文提出一种结合多混沌与DNA的彩色图像加密算法, 采用超混沌系统实现了多种DNA编码方式加密. 通过仿真实验测试, 本文提出的图像加密算法具备足够大的密钥空间, 大大地增强了复杂度, 足以抵御各种攻击, 安全性更高.

1 混沌系统 1.1 Logistic映射

Logistic映射是一个经典的非线性迭代方程, 其数学表达式如式(1)所示:

${x_{k + 1}} = \mu {x_k}(1 - {x_k})$

(1)

其中, 当3.5699< $\mu $ ≤4时系统处于混沌状态, 此时会产生具有随机性、遍历性的序列, 如图1所示.

1.2 Arnold映射

Arnold映射是一种非线性二维映射方程^[9], 其公式定义如下:

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x'} \\ {y'} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a \\ b&{ab + 1} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x \\ y \end{array}} \right]od N$

(2)

其中, (x, y)为明文图像的像素点, $(x',y')$ 为置乱图像的像素点.

1.3 Chen超混沌系统

Chen超混沌系统方程如下:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = a(y - x) + w} \\ {y = dx - xz + cy} \\ {z = xy - bz} \\ {w = yz + ew} \end{array}} \right.$

(3)

式中, x, y, z, w是系统的状态变量; a, b, c, d, e是系统的控制参数. 当a=35, b=3, c=12, d=7, e处于[0.085, 0.798]区间内, Chen系统处于超混沌状态. 其混沌吸引子图如图2所示.

2 DNA编码技术

DNA中含4种不同的氮碱基分别是腺嘌呤A、胸腺嘧啶T、胞嘧啶C和鸟嘌呤G. 根据碱基互补配对原, 中A和T互补配对, C和G互补配对, 而数字图像中像素点的值可以用二进制表示, 在二进制中0和1是互补的, 因此00和11是互补的, 01和10是互补的. 基于这种思想, 结合二进制和DNA编码共有8种符合碱基编码规则, 如表1所示. 按照表1的方式, A用00表示, T用11表示, C用01来表示, G用10来表示. DNA的运算规则如表2~表4所示.

3 算法原理

本文算法分成2个部分: Arnold置乱部分和DNA加密部分. 假设明文图像的大小为M×N, 具体步骤如下:

第1步: 输入原始图像, 并进行R、G、B分层.

第2步: 对原始明文图像的R、G、B分量分别进行Arnold变换置乱, 得到R、G、B共3个分量的Arnold置乱图.

第3步: 将Logistic混沌系统方程迭代300次, 以减少暂态效应带来的不良影响, 设定初值和参数, 连续迭代式(1)方程得到长度为M×N的序列 $\left\{ {\left. {{{g}}\left( {{k}} \right)} \right\}} \right.$ .

第4步: 通过式(4)让序列 $\left\{ {\left. {{{g}}\left( {{k}} \right)} \right\}} \right.$ 中的所有元素处于[0, 255]内, 并转化为M×N的二维随机矩阵R.

${{g(k)}} = {{floor}}({{g(k)}} \times {10^3})\;{\rm{mod }}\;256$

(4)

第5步: 对3个分量的Arnold置乱图和随机矩阵R均匀分成4×4的小块.

第6步: 设定好Chen系统的4个初值x(0)、y(0)、z(0) 和w(0), 利用四阶龙格－库塔算法对Chen系统方程求解可得到3个混沌序列 $\left\{ {\left. {{{x}}\left( {{k}} \right)} \right\}} \right.$ 、 $\left\{ {\left. {{{y}}\left( {{k}} \right)} \right\}} \right.$ 、 $\left\{ {\left. {{{z}}\left( {{k}} \right)} \right\}} \right.$ .

第7步: 将置乱图像矩阵各分块内所有像的灰度值转化为二进制数; 利用序列x(k)变换后的值, 按表1的第x(k)的DNA编码规则进行DNA编码, x(k)按照式(5)进行变换.

${{x(k)}} = ({{floor}}(x(k) \times {10^4})od 8) + 1$

(5)

${{y(k)}} = ({{floor}}({{y}}(k) \times {10^4})od 8) + 1$

(6)

同理, 将随机矩阵各分块内所有像素的灰度值转化为二进制数; 利用序列y(k)变换后的值, 按表1的第y(k)的DNA编码规则进行DNA编码, y(k)按照式(6)进行变换.

第8步: 图像矩阵与随机矩阵之间的DNA运算方式由序列 $\left\{ {\left. {{{z}}\left( {{k}} \right)} \right\}} \right.$ 决定. 序列 $\left\{ {\left. {{{z}}\left( {{k}} \right)} \right\}} \right.$ 按照式(7)进行变换.

${{z(k)}} = {{floor}}({{z}}(k) \times {10^4})od 3$

(7)

当z(k)=0时, 则图像矩阵与随机矩阵分块内所有像素一一对应进行DNA加法运算.

当z(k)=1, 则图像矩阵与随机矩阵分块内所有像素一一对应进行减法运算.

当z(k)=2为则图像矩阵与随机矩阵分块内所有像素一一对应进行异或运算.

第9步: 将3个密文R、G、B分量合成, 得到最终密文图像.

解密算法是加密算法的反向过程, 只要在获取正确密钥条件下就能恢复出原始明文图像.

4 仿真实验

本文算法采用大小为256×256×3的Lena彩色图像作为样本原始图像, 测试坏境为Windows10 64位系统坏境, 在Matlab 2016a软件平台下进行仿真实验, 运行得到的加密图像, 如图3所示.

5 算法分析 5.1 直方图分析

图4分别为Lena图像R、G、B信道的明文和密文灰度直方图. 从图4可知, 加密前后图像直方图变化很大, 明文图像的直方图分布不均, 密文图像的直方图分布平均, 有效地隐藏了原始图像的灰度信息, 从密文的直方图上无法得到原始图像的统计特性.

5.2 密钥空间分析

一个良好的加密算法, 须具有尽可能大的密钥空间^[15]. 本文加密算法采用Logistic映射的有1个控制参数和1个初始值, 采用Chen系统有4个控制参数和4个初始值. 假如仿真实验计算机的每个参数精度都可达 ${10^{ - 16}}$ , 其密钥空间为 ${10^{160}}$ , 此外还有Arnold变换控制参数, 想通过穷举攻击破译密文图像, 成功的概率是微乎其微的.

5.3 信息熵

信息熵是衡量信源随机性的重要参数, 图像混乱越厉害, 信息熵越接近理想值^[16], 其计算公式为:

$H(m) = \sum\limits_{i = 1}^{2N - 1} {P({m_i})} {\log _2}\frac{1}{{P({m_i})}}$

(8)

其中, $P({m_i})$ 是信源取第i个符号 ${m_i}$ 的概率, 图像灰度级为256的信息熵应该是8. 由式(8)计算可得密文图像的信息熵为7.9980, 非常接近于理论值8, 可以得出密文图像灰度分布是非常均匀的, 整个加密系统能够有效地抵御恶意攻击.

5.4 像素相关性分析

为了分析加密前后图像相邻像素之间的相关性, 分别从加密前后图像随机水平, 垂直, 对角3个方向上选取2000对相邻的像素, 使用式(9)计算像素相关性:

$\left\{ {\begin{aligned} & {D(x) = 1/n\sum\limits_{i = 1}^n {[{x_i} - E(x)]} } \\ & {\operatorname{cov} (x,y) = 1/n\sum\limits_{i = 1}^n {[{x_i} - E(x)][{y_i} - E(y)]} } \\ & {r = \operatorname{cov} (x,y)/(\sqrt {D(x)} \sqrt {D(y)} )} \end{aligned}} \right.$

(9)

式中, n是像素点的个数; E(x), E(y)分别是x, y的期望, cov(x, y)是x, y的协方差, r是相关系数. 从表5可知, 原始明文图像的相邻像素高度相关, 其3个相关系数接近1, 而密文图像的3个相关系数趋近于0, 说明密文图像的相邻像素点基本不相关了. 与此同时比较其他算法^[7,9], 得到本文加密算法的相关系数r更小.

5.5 抗噪声分析

密文图像在传输过程中经常受到噪声, 造成图像失真. 为了检测算法抗噪声性能, 在密文图像上加了分差不同的高斯噪声. 从图5可以看出, 随着高斯噪声分差增加, 解密图像局部越来越模糊, 但是依然可以看清楚图像的轮廓信息, 可见本文算法具有较好的抗噪声性.

6 结束语

本文提出一种结合多混沌与DNA的彩色图像加密算法, 采用超混沌系统实现了多种DNA编码方式加密. 通过仿真实验测试, 本文加密算法密钥空间较大, 大大地增强了复杂度, 足以抵御各种攻击, 安全性更高, 抗噪声性较好, 适合用于图像的加密传输, 具有良好的实用价值和应用前景.