聚类算法已经在经济学, 计算机科学, 天文学等各个领域得到广泛应用^[1,2]. 传统的聚类算法是根据准确的数值对确定的对象进行划分的, 但是随着社会的进步, 模糊数据、糊模模型成为了一种新的趋势, 这意味着传统的硬划分聚类方法也要逐渐转向软划分聚类方法^[3]. 研究模糊聚类的前提是要引入模糊集理论, 因为模糊聚类是基于模糊集进行划分的. Zadeh^[4]首先引入模糊语言学理论, 然后将模糊集应用于多标准决策(MCDM)问题中, 称之为模糊MCDM. 之后, Torra^[5]提出了犹豫模糊集(HFSs), 它允许使用多个属于[0, 1]范围的值来评估一个属性, 增强了模糊性. 然而, 在实际问题中, 我们更多的时候得到的数据是定性信息, 不是定量值^[6,7]. 例如, 当人们评估汽车的性能时, 他们可能会更偏向于使用“差”, “好”, “非常好”等语言术语来表达他们的评估结果. 因此, Zadeh提出了采用模糊语言学方法对评估信息进行建模的思想, 最典型的模型有: 二类模糊集合模型^[8], 二元语言模型^[9]和虚拟语言模型^[10]. 这些语言模型的缺陷是: 它们要求一个对象的一个属性只能对应一个语言术语^[11]. 基于犹豫模糊集思想和模糊语言学方法, Rodríguez等人^[12]提出了HFLTSs的概念, 它允许一个对象的一个属性可以用多个语言术语来描述, 提高了评估属性的灵活性.

目前已经存在许多关于模糊聚类的研究, 比如, 文献[13]和文献[14]提出了基于直觉模糊集(IFSs)的聚类方法; 文献[15]提出了犹豫模糊环境下的最小生成树(MST)聚类方法; 文献[16]通过计算犹豫模糊集的相关系数得到相关系数矩阵, 然后构造相关系数矩阵的等价矩阵, 最后, 基于λ置信值切割矩阵得到聚类结果; 文献[17]提出了一种层次犹豫模糊k-means聚类方法, 以层次聚类的结果作为k-means的初始聚类中心进行迭代以获得最终聚类结果, 该算法减少了k-means的迭代次数, 计算成本和聚类时间; 近期, 文献[18]将文献[16]的方法扩展到犹豫模糊积性集(HMSs)上使用, 并取得了一定的成果; 文献[19]则提出了一种基于犹豫模糊环境下的正交聚类算法. 但是目前还没有比较成熟的基于HFLTSs的聚类方法, 而HFLTSs在实际应用中较HFSs、IFSs及HMSs的使用更加广泛且灵活性更大, 因此, 本文针对HFLTSs提出了一种新的正交模糊聚类算法.

1 理论基础 1.1 犹豫模糊语言术语集

定义1^[12]. 设 ${\rm S} = \left\{ {{s_i}|i = - \tau ,\cdots, - 1,0,1,\cdots,\tau } \right\}$ 是给定的一个语言术语集, 一个HFLTS, ${{\rm {H_S}}}$ , 指的是 ${\rm S}$ 上有限个连续的语言术语的有序子集, 表示为:

${{\rm {H_S}}} = \{ {s_i},{s_{i + 1}},\cdots,{s_j}\} $

其中, ${s_k} \in {\rm S}$ , $k$ 属于 ${\rm{\{ }} - \tau ,\cdots, - 1,0,1,\cdots,\tau \} $ .

HFLTSs的上下边界分别是 ${s_{ - \tau }}$ 和 ${s_\tau }$ , ${\rm S}$ 满足以下特征:

(1) 如果 $\alpha > \beta $ , 则 ${s_\alpha } > {s_\beta }$ ;

(2) ${\rm S}$ 满足负运算操作: $neg({s_\alpha }) = {s_{ - \alpha }}$ , 除了 $neg({s_0}) = {s_0}$ .

备注1. 在定义1中, HFLTSs是一些离散的数值, 为了避免丢失语言信息, 可以将离散形式扩展为连续形式, 即, ${\bar {\rm S}^*} = \{ {s_\alpha }|\alpha \in [ - q,q]\} $ .

1.2 上下文无关语法

文献[20]提出了一种上下文无关文法, 我们可以将一些简单而丰富的语言表达通过转换函数^[21]转换成HFLTSs.

定义2. 假设 ${E_{{G_H}}}$ 表示将语言表达转换成HFLTSs的转换函数, ${G_{\rm H}}$ 表示上下文无关方法, ${\rm S}$ 是语言术语集. 通过 ${G_{\rm H}}$ 将 ${{\rm S}_{ll}}$ 转换成 ${{\rm H_S}}$ 的表达式如下:

${E_{{G_{\rm H}}}}:{{\rm S}}_{ll} \to {{\rm {H_S}}}$

具体转换过程如下:

(1) ${E_{{G_{\rm H}}}}({s_t}) = \{ {s_t}|{s_t} \in {\rm S}\} $ ;

(2) ${E_{{G_{\rm H}}}}({\text{至多为}}{s_i}) = \{ {s_t}|{s_t} \in {\rm S}{\rm{ }},{\rm{ }}{s_t} \le {s_i}\} $ ;

(3) ${E_{{G_{\rm H}}}}({\text{小于}}{s_i}) = \{ {s_t}|{s_t} \in {\rm S},{s_t} < {s_i}\} $ ;

(4) ${E_{{G_{\rm H}}}}({\text{至少为}}{s_i}) = \{ {s_t}|{s_t} \in {\rm S}{\rm{ }},{\rm{ }}{s_t} \ge {s_i}\} $ ;

(5) ${E_{{G_{\rm H}}}}({\text{大于}}{s_i}) = \{ {s_t}|{s_t} \in {\rm S}{\rm{ }},{\rm{ }}{s_t} > {s_i}\} $ ;

(6) ${E_{{G_{\rm H}}}}({\text{介于}}{s_i}{\text{和}}{s_j}{\text{之间}}) = \{ {s_t}|{s_t} \in {\rm S}{\rm{,}}\;{s_i} \le {s_t} \le {s_j}\} $ .

例1. S={极差, 很差, 差, 一般, 好, 很好, 极好}作为一本书的语言术语集, 假设一位评估者给出的对三本书的三个属性的评估结果如下:

${\text{评估者}} \!=\! \left(\!\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}}{{\text{一般}}} & {{\text{介于好和很好之间}}} & {{\text{非常好}}}\\{{\text{顶多为差等级}}} & {{\text{在好之上}}} & {{\text{好}}}\\{{\text{至少评为好}}} & {{\text{介于很坏和坏之间}}} & {{\text{坏}}}\end{array}}\!\!\!\!\! \right)$

通过 ${E_{{G_{\rm H}}}}$ 转换为HFLTSs的形式之后如下:

${\text{评估者}} = \left(\!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {{\text{一般}}} \right\}} & {\left\{ {{\text{好}},\;{\text{很好}}} \right\}} & {\left\{ {{\text{非常好}}} \right\}}\\[3pt]{\left\{ {{\text{极差}},\;{\text{很差}},\;{\text{差}}} \right\}} & {\left\{ {{\text{很好}},\;{\text{极好}}} \right\}} & {\left\{ {{\text{好}}} \right\}}\\[3pt]{\left\{ {{\text{好}},\;{\text{很好}},\;{\text{极好}}} \right\}} & {\left\{ {{\text{很坏}},\;{\text{坏}}} \right\}} & {\left\{ {{\text{坏}}} \right\}}\end{array}}\!\!\! \right)$

2 基于HFLTSs的距离测度

距离测度是聚类分析的重要指标之一^[22], 本节将介绍基于HFLTSs的传统距离测度以及改进之后的距离测度.

2.1 传统距离测度

定义3^[23]. 设 ${\rm S} = \left\{ {{s_i}|i = - \tau ,\cdots, - 1,0,1,\cdots,\tau } \right\}$ 是一个语言术语集, ${\rm {H_S}}^1 = \left\{ {{s_{\delta _l^1}}|l = 1,\cdots,|{\rm {H_S}}^1|} \right\}$ 和 $ {\rm {H_S}}^2 = \{ {s_{\delta _l^2}}|l = 1,\cdots, $ $\left. {|{\rm {H_S}}^2|} \right\}$ 是 ${\rm S}$ 上的任意两个HFLTSs, ${\delta _l}$ 表示 ${{\rm {H_S}}}$ 中每一个语言术语的下标, $|{\rm {H_S}}^1|$ 指的是 ${\rm {H_S}}^1$ 中的犹豫模糊语言术语元素(HFLTEs)个数, $|{\rm {H_S}}^1| = |{\rm {H_S}}^2| = L$ . 则 ${\rm {H_S}}^1$ 和 ${\rm {H_S}}^2$ 之间的距离测度为:

${d_{gd}}({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2) = {\left( {\frac{1}{L}\sum\limits_{l = 1}^L {{{\left( {\frac{{|\delta _l^1 - \delta _l^2|}}{{2\tau + 1}}} \right)}^\lambda }} } \right)^{1/\lambda }}$

(1)

当 $\lambda = 1$ 时, ${\rm {H_S}}^1$ 和 ${\rm {H_S}}^2$ 的汉明距离如下:

${d_{hd}}({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2) = \frac{1}{L}\sum\limits_{l = 1}^L {\frac{{|\delta _l^1 - \delta _l^2|}}{{2\tau + 1}}} $

(2)

当 $\lambda = 2$ 时, ${\rm {H_S}}^1$ 和 ${\rm {H_S}}^2$ 的欧式距离如下:

${d_{ed}}({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2) = {\left( {\frac{1}{L}\sum\limits_{l = 1}^L {{{\left( {\frac{{|\delta _l^1 - \delta _l^2|}}{{2\tau + 1}}} \right)}^2}} } \right)^{1/2}}$

(3)

传统距离测度公式要求两个HFLTSs的HFLTEs个数一样, 而实际上如例1所示, 两个不同的HFLTSs的HFLTEs个数可能不同. 因此, 传统距离测度采用最大值、最小值或者平均值来补齐HFLTEs个数较少的HFLTSs, 使HFLTEs的个数一致^[24].

例2. 设 ${\rm S} = \left\{ {{s_{ - 3}},{s_{ - 2}},{s_{ - 1}},{s_0},{s_1},{s_2},{s_3}} \right\}$ 是一个语言术语集, ${\rm {H_S}}^1 = \{ {s_1},{s_2}\} $ 和 ${\rm {H_S}}^2 = \{ {s_{ - 1}},{s_0},{s_1}\} $ 是 ${\rm {S}}$ 上的两个HFLTSs. 为了计算 ${\rm {H_S}}^1$ 和 ${\rm {H_S}}^2$ 之间的距离测度, 需要保证两者的HFLTEs个数一样. 本文采用平均值作为补齐元素, 即将 ${\rm {H_S}}^1 = \{ {s_1},{s_2}\} $ 扩展为 ${\rm {H_S}}^1 = \{ {s_1},{s_{1.5}},{s_2}\} $ . 计算 ${\rm {H_S}}^1$ 和 ${\rm {H_S}}^2$ 的欧式距离如下:

$\begin{aligned}{d_{ed}}({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2) & =\! \sqrt {\frac{1}{3}\left( {{{\left( {\frac{{|1 \!-\! ( - 1)|}}{7}} \right)}^2} \!\!+\! {{\left( {\frac{{|1.5 \!-\! 0|}}{7}} \right)}^2} \!\!+\! {{\left( {\frac{{|2 - 1|}}{7}} \right)}^2}} \right)} \\ & = 0.222\end{aligned}$

传统距离测度方法, 涉及到有多个HFLTSs时, 是对这些HFLTEs个数进行两两对比, 得到距离测度.

例3. 设 ${\rm S} = \left\{ {{s_{ - 3}},{s_{ - 2}},{s_{ - 1}},{s_0},{s_1},{s_2},{s_3}} \right\}$ 为一个语言术语集, ${\rm {H_S}}^1 = \{ {s_1},{s_2}\} $ 、 ${\rm {H_S}}^2 = \{ {s_{ - 1}},{s_0},{s_1}\} $ 和 ${\rm {H_S}}^3 = \{ {s_1},{s_2},{s_3},{s_4}\} $ 是 ${\rm S}$ 上的三个HFLTSs.

计算 $d({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2)$ 和 $d({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^3)$ 时, 要分别将 ${\rm {H_S}}^1$ 扩展成 ${\rm {H_S}}^1 = \{ {s_1},{s_{1.5}},{s_2}\} $ 和 ${\rm {H_S}}^1 = \{ {s_1},{s_{1.5}},{s_{1.5}},{s_2}\} $ . 这意味着, $d({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2)$ 是三维空间下的距离测度, 而 $d({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^3)$ 则是在四维空间下计算得到的距离测度, 显然, 将两者进行对比是无意义的.

2.2 新型距离测度

针对上面提到的传统距离测度存在的缺陷, 本文对其做出改进, 重新定义如定义4.

定义4. 设 ${\rm S} = \left\{ {{s_i}|i = - \tau ,\cdots, - 1,0,1,\cdots,\tau } \right\}$ 是一个语言术语集, ${\rm {H_S}}^1 = \left\{ {{s_{\delta _l^1}}|l = 1,\cdots,|{\rm {}}{\rm {H_S}}^1|} \right\}$ 和 $ {\rm {H_S}}^2 = \left\{ {{s_{\delta _l^2}}|l = 1,\cdots,} \right.$ $\left. {|{\rm {H_S}}^2|} \right\}$ 是 ${\rm S}$ 上的任意HFLTSs, ${\delta _l}$ 表示 ${{\rm {H_S}}}$ 中每一个语言术语的下标, $|{\rm {H_S}}^1|$ 指的是 ${\rm {H_S}}^1$ 中的HFLTEs个数, $ |{\rm {H_S}}^1| =$ $ |{\rm {H_S}}^2|$ . ${\rm {H_S}}^1$ 和 ${\rm {H_S}}^2$ 的距离测度为:

${d_{gd}}({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2) = {\left( {\frac{1}{L}\sum\limits_{l = 1}^L {{{\left( {\frac{{|\delta _l^1 - \delta _l^2|}}{{2\tau + 1}}} \right)}^\lambda }} } \right)^{1/\lambda }}$

(4)

$L$ 表示需要进行对比的所有HFLTSs中HFLTEs个数最多的HFLTSs的长度.

例4. 设 $S = \left\{ {{s_{ - 3}},{s_{ - 2}},{s_{ - 1}},{s_0},{s_1},{s_2},{s_3}} \right\}$ 为一个语言术语集, ${\rm {H_S}}^1 = \{ {s_1},{s_2}\} $ 、 ${\rm {H_S}}^2 = \{ {s_{ - 1}},{s_0},{s_1}\} $ 和 ${\rm {H_S}}^3 = \{ {s_1},{s_2},{s_3},{s_4}\} $ 是 ${\rm S}$ 上的三个HFLTSs.

计算 $d({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2)$ 和 $d({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^3)$ 时, ${\rm {H_S}}^1$ 和 ${\rm {H_S}}^2$ 都要扩展成具有四个元素的HFLTSs. 即 ${\rm {H_S}}^1$ 扩展成 ${\rm {H_S}}^1 \!\!=\!\! \{ {s_1},{s_{1.5}},{s_{1.5}},{s_2}\} $ , ${\rm {H_S}}^2$ 扩展成 ${\rm {H_S}}^2 = \{ {s_{ - 1}},{s_0},{s_0},{s_1}\} $ .

2.3 考虑犹豫度的新型距离测度

HFLTSs 的传统距离测量只考虑了HFLTEs的值的差异, 而不考虑HFLTEs的个数差异. 文献[25]在距离测度中考虑到了犹豫度这个影响因素, 提高了计算HFSs的距离测度的准确性和可靠性. 文献[26]受此启发, 也在HFLTSs的距离测度公式中考虑犹豫度对其的影响, 提出了新的距离测度公式.

定义5^[20]. 设 ${\rm S} = \left\{ {{s_i}|i = - \tau ,\cdots, - 1,0,1,\cdots,\tau } \right\}$ 是一个语言术语集, ${{\rm {H_S}}} = \left\{ {s_{{\delta _l}}^{}|l = 1,\cdots,|{{\rm {H_S}}}|} \right\}$ 是 ${\rm S}$ 上任意的一个HFLTSs, 则 ${{\rm {H_S}}}$ 的犹豫度定义为:

$\mu ({{\rm {H_S}}}) = \frac{{\frac{3}{{|{{\rm {H_S}}}|}}\sum\limits_{l = 1}^{|{{\rm {H_S}}}|} {{{({\delta _l} - \overline \delta )}^2}} }}{{\tau (\tau + 1)}}$

(5)

其中, $\overline \delta = \frac{1}{{|{{\rm {H_S}}}|}}\sum\limits_{l = 1}^{|{{\rm {H_S}}}|} {{\delta _l}} $ , ${\delta _l}$ 表示 ${{\rm {H_S}}}$ 中每一个语言术语的下标.

定义6^[25]. 设 ${\rm S} = \left\{ {{s_i}|i = - \tau ,\cdots, - 1,0,1,\cdots,\tau } \right\}$ 是一个语言术语集, ${\rm {H_S}}^1 \!\!=\!\! \left\{ {{s_{{\delta _l}}}|l \!\!=\!\! 1,\cdots,|{\rm {H_S}}^1|} \right\}$ 和 ${\rm {H_S}}^2 \!\!=\!\! \left\{ {{s_{{\delta _l}}}|l \!=\! 1,\cdots,|{\rm {H_S}}^2|} \right\}$ 是 ${\rm S}$ 上任意两个HFLTSs, 定义 ${\rm {H_S}}^1$ 和 ${\rm {H_S}}^2$ 的距离测度公式为:

$\begin{aligned}{d_{dg}}({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2) = & \left( {\alpha |\mu ({\rm {H_S}}^1) - \mu ({\rm {H_S}}^2){|^\lambda }} \right.\\&{\left. { + \beta \left( {\frac{1}{L}\sum\limits_{l = 1}^L {{{\left( {\displaystyle\frac{{|\delta _l^1 - \delta _l^2|}}{{2\tau + 1}}} \right)}^\lambda }} } \right)} \right)^{^{1/\lambda }}}\end{aligned}$

(6)

其中, $\alpha $ 和 $\beta $ 分别表示犹豫度和HFLTEs个数差异所占权重, $\alpha + \beta = 1$ . 当 $\alpha = 0$ , 即不考虑犹豫度的影响, 该公式等价于传统距离测度公式; 本文主要考虑两个权重相等的情况, 即 $\alpha = \beta = 0.5$ .

将上述距离测度扩展到多个属性的情况, 则定义为如定义7所示形式.

定义7. 设 ${\rm S} = \left\{ {{s_i}|i = - \tau ,\cdots, - 1,0,1,\cdots,\tau } \right\}$ 是一个语言术语集, $X = \left\{ {{x_1},{x_2},\cdots,{x_n}} \right\}$ 表示 $n$ 个属性, 取任意两个HFLTSs, ${\rm {H_S}}^1({x_i}) \!=\! { \cup _{{s_{\delta _l^1}} \in {\rm {H_S}}^1}}\left\{ {{s_{\delta _l^1}}|l \!=\! 1,\cdots,|{\rm {H_S}}^1|} \right\}$ 和 $ {\rm {H_S}}^2({x_i}) \!=$ $ { \cup _{{s_{\delta _l^2}} \in {\rm {H_S}}^2}}\left\{ {{s_{\delta _l^2}}|l \!=\!\! 1,...,|{\rm {H_S}}^2|} \right\}$ , 其中 $L({x_i}) \!=\!\!\!\!\!\! \mathop {\max }\limits_{{\rm {H_S}}^l({x_i}) \in {{\rm {H_S}}}({x_i})}\!\!\!\!\!\! \left\{ {|{\rm {H_S}}^l({x_i})|} \right\}$ , 则 ${\rm {H_S}}^1$ 和 ${\rm {H_S}}^2$ 的标准距离测度公式为:

$\begin{aligned}{d_{ngd}}({\rm {H_S}}^1,{\rm {H_S}}^2) = & \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {\alpha |\mu ({\rm {H_S}}^1({x_i})) - \mu ({\rm {H_S}}^2({x_i})){|^\lambda }} \right.} \\& + {\left. {\beta \left( {\displaystyle\frac{1}{{L({x_i})}}\sum\limits_{l = 1}^{L({x_i})} {{{\left( {\displaystyle\frac{{|\delta _l^{1i} - \delta _l^{2i}|}}{{2\tau + 1}}} \right)}^\lambda }} } \right)} \right)^{1/\lambda }}\end{aligned}$

(7)

其中, $\lambda \ge 1$ , $0 \le \alpha ,\beta \le 1$ , 且 $\alpha + \beta = 1$ .

3 基于HFLTSs的正交模糊聚类算法 3.1 基于犹豫模糊环境的正交聚类算法

近来, 文献[19]提出了基于HFSs的正交聚类算法, 简化了聚类过程, 降低了算法复杂度, 提高了算法的效率. 该算法的步骤如下.

算法1. 基于HFSs正交模糊聚类算法.

步骤1. 设 $\{ {A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}\} $ 是对应 ${\rm X} = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,$ ${x_m}\} $ 的一系列HFSs, ${\rm X} = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_m}\} $ 指m个样本. 计算样本之间的距离得到距离测度矩阵 ${\rm M} = {\{ {d_{ij}}\} _{n \times n}}$ , 其中 ${d_{ij}} = d({A_i},{A_j})$ .

步骤2. 选择置信水平 $\lambda $ 值, $\lambda \in [0,1]$ , 构建距离测度矩阵 $M = {\{ {d_{ij}}\} _{n \times n}}$ 的对应 $\lambda - $ 切割矩阵, ${{\rm M}_\lambda }$ . 具体过程: 从 ${\rm M} = {\{ {d_{ij}}\} _{n \times n}}$ 矩阵中按照从大到小的顺序选择 $\lambda $ 值, 然后对 ${\rm M} = {\{ {d_{ij}}\} _{n \times n}}$ 进行 $\lambda - $ 切割, 大于 $\lambda $ 值的置为1, 小于 $\lambda $ 值的置为0, 得到对应的 $\lambda - $ 切割矩阵, ${{\rm M}_\lambda }$ .

步骤3. ${{\rm M}_\lambda }$ 的每一列看作一个向量, 表示为 ${{\rm M}_\lambda } = ({\bar \alpha _1},{\bar \alpha _2}, \cdots ,{\bar \alpha _n})$ , 其中 ${\bar \alpha _j} = {({\alpha _{1j}},{\alpha _{2j}}, \cdots ,{\alpha _{nj}})^{\rm T}}$ . 对任意两个列向量进行内积点乘运算 $({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _j}) = {\bar \alpha _i}^{\rm T}{\bar \alpha _j}$ , 如果 $({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _j}) = {\bar \alpha _i}^{\rm T}{\bar \alpha _j} = 0$ , 则认为这两个列向量是正交关系.

步骤4. 根据列向量之间的正交关系对样本进行聚类, 具体原理如下:

如果 $({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _j}) \ne 0$ , 则将样本 ${A_i}$ 和 ${A_j}$ 归为同一类样本, 称之为直接聚类原理.

如果存在 $1 \le {n_1},{n_2}, \cdots ,{n_s} \le n$ , 且 $ ({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _{{n_1}}})({\bar \alpha _{{n_1}}},{\bar \alpha _{{n_2}}}) \cdots$ $ ({\bar \alpha _{{n_s}}},{\bar \alpha _j}) \ne 0$ , 则将样本 ${A_i}$ 和 ${A_j}$ 归为同一类样本, 称之为间接聚类原理.

如果 $({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _j}) = 0$ , 并且对任意 $1 \le {n_1},{n_2}, \cdots ,{n_s} \le n$ , 满足 $({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _{{n_1}}})({\bar \alpha _{{n_1}}},{\bar \alpha _{{n_2}}}) \cdots ({\bar \alpha _{{n_s}}},{\bar \alpha _j}) = 0$ , 则样本 ${A_i}$ 和 ${A_j}$ 不能归为同个类别.

为了说明计算的复杂性, 文献[19]随机生成一些HFSs用以对比正交模糊聚类算法和模糊网络聚类算法. 表1是两种聚类方法得到聚类结果之前的运行时间, 显然, 正交模糊聚类算法消耗更少的时间.

但是该算法存在一个缺陷, 当样本数量大时, 会得到一个非常高维的距离测度矩阵, 如果矩阵中的所有不相同的值都作为置信水平对距离测度矩阵进行 $\lambda - $ 切割, 则需要消耗大量的计算成本, 且其中存在很多重复操作, 因此本文对该算法做出了改进.

3.2 基于HFLTSs的正交k-means聚类方法

针对算法1存在的问题, 如果我们可以解决样本数量大带来的高维矩阵难以计算的问题, 那么就可以进一步降低计算复杂度. 本文采取的解决方法是减少距离测度矩阵内部元素的差异性, 以此缩小置信水平 $\lambda $ 的取值空间, 具体原理是采用构造等价矩阵^[14](等价矩阵的概念将直接体现在算法步骤中), 替代原始距离测度矩阵, 在等价矩阵的基础上进行正交聚类. 后期, 为了证明该算法的可行性和高效性, 还将通过k-means算法对聚类结果进行验证.

基于HFLTSs的正交模糊聚类算法过程如算法2.

算法2. 基于HFLTSs正交模糊聚类算法.

步骤1. 设 $\{ {A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}\} $ 是对应 ${\rm X} = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,$ ${x_m}\} $ 的一系列HFLTSs, ${\rm X} = \{ {x_1},{x_2}, \cdots ,{x_m}\} $ 指m个样本, 计算样本之间的距离测度, 得到距离测度矩阵 ${\rm D} = {({d_{ij}})_{n \times n}}$ , 其中 ${d_{ij}} = d({A_i},{A_j})$ .

步骤2. 计算距离测度矩阵 ${\rm D} = {({d_{ij}})_{n \times n}}$ 的等价矩阵: ${{\rm D}^2} = {\rm D} \circ {\rm {D}} = {({\bar d_{ij}})_{n \times n}}$ , ${\bar d_{ij}} = {\min _k}\{ \max \{ {d_{ik}},{d_{kj}}\} \} ,i, j = 1,$ $2,\cdots,n$ , ${{\rm D}^2} \subseteq {\rm D}$ , ${{\rm D}^2}$ 称为 ${\rm D}$ 的关联矩阵, 重复如下操作:

${\rm D} \to {{\rm D}^2} \to {{\rm D}^4} \to \cdots \to {{\rm D}^{{2^k}}} \to \cdots $

直到 ${\rm{ }}{{\rm D}^{{2^k}}} = {{\rm D}^{{2^{(k + 1)}}}}$ , 则 ${{\rm D}^{{2^{(k + 1)}}}}$ 是 ${\rm D}$ 的等价矩阵, 对 ${{\rm D}^{{2^{(k + 1)}}}}$ 进行运算的结果和对矩阵 ${\rm D}$ 进行运算的效果一样^[14].

步骤3. 按照从大到小的顺序从 ${{\rm D}^{{2^{(k + 1)}}}}$ 中选择置信水平 $\lambda $ 值, $\lambda \in [0,1]$ , 然后对 ${{\rm D}^{{2^{(k + 1)}}}}$ 进行切割得到对应的 $\lambda - $ 切割矩阵.

步骤4. $\lambda - $ 切割矩阵中的每一列看作一个向量, 表示为 ${{\rm D}_\lambda } = ({\bar \alpha _1},{\bar \alpha _2}, \cdots ,{\bar \alpha _n})$ , 其中 ${\bar \alpha _j} = {({\alpha _{1j}},{\alpha _{2j}}, \cdots ,{\alpha _{nj}})^{\rm T}}$ . 对任意两个列向量进行内积点乘运算 $({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _j}) = {\bar \alpha _i}^{\rm T}{\bar \alpha _j}$ , 如果 $({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _j}) = {\bar \alpha _i}^{\rm T}{\bar \alpha _j} = 0$ , 则认为这两个列向量是正交关系.

步骤5. 根据列向量之间的正交关系对样本进行聚类, 得到聚类结果.

K-means算法是常用的聚类算法, 该算法需要给定k值用以指定将目标对象划分成k个类别. 算法的第一个步骤是要计算初始数据的质心, 然后计算数据到质心的距离进而得到新的集群质心, 不断迭代这个过程, 直到质心的位置不再变化, 即聚类结束. 该算法精度高, 是最为广泛使用的聚类算法之一, 但是k-means的效率高低很大程度上依靠于对k值和初始质心的选择, 选择不当往往造成迭代次数多, 计算量大, 消耗时间成本大的问题, 因此本文只借助它的优点来对本文提出的算法结果的准确性进行验证.

本文将算法2的聚类结果作为k-means的初始数据, 代入到k-means算法中, 进行一次迭代运算, 求得迭代之后的聚类结果, 如果该结果与算法2的聚类结果一致, 则说明聚类结果准确.

4 实例分析

聚类分析在各行各业的应用十分常见, 对顾客进行细分是最为常见的分析需求, 本文以顾客细分为例, 验证本文提出的正交模糊聚类算法的可行性和高效性.

设某公司要对自己的客户进行划分, 划分客户的主要参考因素为以下5个: (1)消费水平 ${c_1}$ ; (2)收入水平 ${c_2}$ ; (3)文化程度 ${c_3}$ ; (4)上网时间长度 ${c_4}$ ; (5)外貌长相等级 ${c_5}$ . 5个属性分别所占权重为: w=(0.25, 0.2, 0.25, 0.15, 0.15)^T, 依据语言评价术语集, S¹={s_–3: 非常低, s_–2: 很低, s_–1: 低, s₀: 一般, s₁: 高, s₂: 很高, s₃: 非常高}, S²={s_–3: 非常短, s_–2: 很短, s_–1: 短, s₀: 一般, s₁: 长, s₂: 很长, s₃: 非常长}, 给出了10位客户 $P = ({p_1},{p_2}, \cdots ,{p_{10}})$ 的评估信息, 如表2所示.

步骤1. 将得到的评估信息进行规范化, 即为元素较少的HFLTSs补齐元素, 使HFLTEs个数一致:

${\left\{ {{g_{ij}}} \right\}_{m \times n}} = \left( \begin{array}{*{20}{c}}\left\{ { {s_0},{s_{0.5}},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 2}},{s_{ - 1.5}},{s_{ - 1}}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_{0.5}},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_2},{s_3}} \right\}\\\left\{ { {s_2},{s_2},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 1}},{s_0},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 2}},{s_{ - 1.5}},{s_{ - 1}}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_1},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} \\\left\{ { {s_0},{s_{0.5}},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_{0.5}},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_1},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_2},{s_3}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_1},{s_2}} \right\} \\\left\{ { {s_{ - 2}},{s_{ - 1.5}},{s_{ - 1}}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 2}},{s_{ - 1.5}},{s_{ - 1}}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_3},{s_3},{s_3}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 1}},{s_0},{s_1} } \right\}\\\left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_{0.5}},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_2},{s_{2.5}},{s_3}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_{0.5}},{s_1}} \right\} \\\left\{ { {s_{ - 1}},{s_0},{s_1} } \right\} & \left\{ { {s_1},{s_1},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_2},{s_3}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 1}},{s_0},{s_1} } \right\}\\\left\{ { {s_1},{s_2},{s_3}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_1},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 2}},{s_{ - 1.5}},{s_{ - 1}}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_1},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} \\\left\{ { {s_0},{s_{0.5}},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 3}},{s_{ - 2.5}},{s_{ - 2}}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_1},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_2},{s_3}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} \\\left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 1}},{s_0},{s_1} } \right\} & \left\{ { {s_0},{s_{0.5}},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_2},{s_{2.5}},{s_3}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 3}},{s_{ - 2.5}},{s_{ - 2}}} \right\} \\\left\{ { {s_0},{s_{0.5}},{s_1}} \right\} & \left\{ { {s_{ - 1}},{s_0},{s_1} } \right\} & \left\{ { {s_0},{s_1},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_1},{s_{1.5}},{s_2}} \right\} & \left\{ { {s_0},{s_1},{s_2}} \right\} \end{array} \right)$

步骤2. 根据距离测量公式(7)计算样本之间的距离测度, 其中 $\alpha = \beta = 0.5$ , $\lambda = 2$ , 得到距离测量矩阵 ${\rm D}$ :

${\rm D} = \left( \begin{array}{*{20}{c}}{0} & {0.2274} & {0.1158} & {0.2222} & {0.2578} & {0.2354} & {0.3091} & {0.0486} & {0.3982} & {0.0791} \\{0.2274} & {0} & { 0.2707} & {0.6852} & {0.2146} & {0.4478} & {0.0533} & {0.3829} & {0.3892} & {0.2394} \\{0.1158} & {0.2707} & {0} & { 0.2355} & {0.0736} & {0.0506} & {0.2593} & {0.1878} & {0.2441} & {0.0189} \\{0.2222} & {0.6852} & {0.2355} & {0} & { 0.4450} & {0.2201} & {0.7787} & {0.1983} & {0.4054} & {0.2163} \\{0.2578} & {0.2146} & {0.0736} & {0.4450} & {0} & { 0.1132} & {0.1762} & {0.3808} & {0.1854} & {0.1106} \\{0.2354} & {0.4478} & {0.0506} & {0.2201} & {0.1132} & {0} & { 0.3945} & {0.3134} & {0.2303} & {0.0861} \\{0.3091} & {0.0533} & {0.2593} & {0.7788} & {0.1762} & {0.3945} & {0} & { 0.4915} & {0.4108} & {0.2610} \\{0.0486} & {0.3829} & {0.1878} & {0.1983} & {0.3808} & {0.3134} & {0.4915} & {0} & { 0.4163} & {0.1454} \\{0.3982} & {0.3892} & {0.2441} & {0.4054} & {0.1854} & {0.2303} & {0.4108} & {0.4163} & {0} & { 0.2402} \\{0.0791} & {0.2394} & {0.0189} & {0.2163} & {0.1106} & {0.0861} & {0.2610} & {0.1454} & {0.2402} & {0} \\\end{array} \right)$

步骤3. 计算距离测量矩阵 ${\rm D}$ 的等价矩阵:

${{\rm D}^2} = \left( \begin{array}{*{20}{c}}{0 } & { 0.2274} & {0.0791} & {0.1983} & {0.1106} & {0.0861} & {0.2274} & {0.0486} & {0.2354} & {0.0791} \\[2pt]{0.2274} & {0 } & { 0.2146} & {0.2274} & {0.1762} & {0.2146} & {0.0533} & {0.2274} & {0.2146} & {0.2146} \\[2pt]{0.0791} & {0.2146} & {0 } & { 0.1983} & {0.0736} & {0.0506} & {0.1762} & {0.1158} & {0.1854} & {0.0189} \\[2pt]{0.1983} & {0.2274} & {0.1983} & {0 } & { 0.2163} & {0.2163} & {0.2593} & {0.1983} & {0.2303} & {0.1983} \\[2pt]{0.1106} & {0.1762} & {0.0736} & {0.2163} & {0 } & { 0.0736} & {0.1762} & {0.1454} & {0.1854} & {0.0736} \\[2pt]{0.0861} & {0.2146} & {0.0506} & {0.2163} & {0.0736} & {0 } & { 0.1762} & {0.1454} & {0.1854} & {0.0506} \\[2pt]{0.2274} & {0.0533} & {0.1762} & {0.2593} & {0.1762} & {0.1762} & {0 } & { 0.2593} & {0.1854} & {0.1762} \\[2pt]{0.0486} & {0.2274} & {0.1158} & {0.1983} & {0.1454} & {0.1454} & {0.2593} & {0 } & { 0.2402} & {0.0791} \\[2pt]{0.2354} & {0.2146} & {0.1854} & {0.2303} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & {0.2402} & {0 } & { 0.1854} \\[2pt]{0.0791} & {0.2146} & {0.0189} & {0.1983} & {0.0736} & {0.0506} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0} \\[2pt]\end{array} \right)$

${{\rm D}^4} = \left( \begin{array}{*{20}{c}}{0} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1983} & {0.0791} & {0.0791} & {0.1762} & {0.0486} & {0.1854} & {0.0791} \\[1pt]{0.1762} & {0} & {0.1762} & {0.2146} & {0.1762} & {0.1762} & {0.0533} & {0.1762} & {0.1854} & {0.1762} \\[1pt]{0.0791} & {0.1762} & {0} & {0.1983} & {0.0736} & {0.0506} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0.0189} \\[1pt]{0.1983} & {0.2146} & {0.1983} & {0} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} \\[1pt]{0.0791} & {0.1762} & {0.0736} & {0.1983} & {0} & {0.0736} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0.0736} \\[1pt]{0.0791} & {0.1762} & {0.0506} & {0.1983} & {0.0736} & {0} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0.0506} \\[1pt]{0.1762} & {0.0533} & {0.1762} & {0.1983} & {0.1762} & {0.1762} & {0} & {0.1762} & {0.1854} & {0.1762} \\[1pt]{0.0486} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1983} & {0.0791} & {0.0791} & {0.1762} & {0} & {0.1854} & {0.0791} \\[1pt]{0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1983} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & {0} & {0.1854} \\[1pt]{0.0791} & {0.1762} & {0.0189} & {0.1983} & {0.0736} & {0.0506} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0} \\[1pt]\end{array} \right)$

${{\rm D}^8} = \left( \begin{array}{*{20}{c}}{0} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1983} & {0.0791} & {0.0791} & {0.1762} & {0.0486} & {0.1854} & {0.0791} \\{0.1762} & { 0} & {0.1762} & {0.1983} & {0.1762} & {0.1762} & {0.0533} & {0.1762} & {0.1854} & {0.1762} \\{0.0791} & {0.1762} & { 0} & {0.1983} & {0.0736} & {0.0506} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0.0189} \\{0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & { 0} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} \\{0.0791} & {0.1762} & {0.0736} & {0.1983} & { 0} & {0.0736} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0.0736} \\{0.0791} & {0.1762} & {0.0506} & {0.1983} & {0.0736} & { 0} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0.0506} \\{0.1762} & {0.0533} & {0.1762} & {0.1983} & {0.1762} & {0.1762} & { 0} & {0.1762} & {0.1854} & {0.1762} \\{0.0486} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1983} & {0.0791} & {0.0791} & {0.1762} & { 0} & {0.1854} & {0.0791} \\{0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1983} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & { 0} & {0.1854} \\{0.0791} & {0.1762} & {0.0189} & {0.1983} & {0.0736} & {0.0506} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & { 0} \\\end{array} \right)$

${{\rm D}^{16}} = \left( \begin{array}{*{20}{c}}{0} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1983} & {0.0791} & {0.0791} & {0.1762} & {0.0486} & {0.1854} & {0.0791} \\{0.1762} & { 0} & {0.1762} & {0.1983} & {0.1762} & {0.1762} & {0.0533} & {0.1762} & {0.1854} & {0.1762} \\{0.0791} & {0.1762} & { 0} & {0.1983} & {0.0736} & {0.0506} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0.0189} \\{0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & { 0} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} & {0.1983} \\{0.0791} & {0.1762} & {0.0736} & {0.1983} & { 0} & {0.0736} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0.0736} \\{0.0791} & {0.1762} & {0.0506} & {0.1983} & {0.0736} & { 0} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & {0.0506} \\{0.1762} & {0.0533} & {0.1762} & {0.1983} & {0.1762} & {0.1762} & { 0} & {0.1762} & {0.1854} & {0.1762} \\{0.0486} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1983} & {0.0791} & {0.0791} & {0.1762} & { 0} & {0.1854} & {0.0791} \\{0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1983} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & {0.1854} & { 0} & {0.1854} \\{0.0791} & {0.1762} & {0.0189} & {0.1983} & {0.0736} & {0.0506} & {0.1762} & {0.0791} & {0.1854} & { 0} \\\end{array} \right)$

根据上面的计算结果可知 ${{\rm D}^{16}} = {{\rm D}^8}$ , 所以 ${{\rm D}^8}$ 是 ${\rm D}$ 等价矩阵.

步骤4. 按照从大到小的顺序从 ${{\rm D}^8}$ 中选择置信水平 $\lambda $ 值, 然后对 ${{\rm D}^8}$ 进行切割得到对应的 $\lambda - $ 切割矩阵:

$\begin{array}{l}{\text{例如当}}\lambda = 0.1983{\text{时}},\\{{\rm D}_{\lambda = 0.1983}} = \left( \begin{array}{*{20}{c}} {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\ {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\\end{array} \right)\end{array}$

当 $\lambda = 0.0486$ 时,

${{\rm D}_{\lambda = 0.0486}} = \left( \begin{array}{*{20}{c}} {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {1} \\\end{array} \right)$

${{\rm D}^8}$ 中有10个不同的值, 意味着要进行10次切割, 而如果直接对原始距离测度矩阵 ${\rm D}$ 进行该项操作, 则需要做47次切割, 显然, 采用等价矩阵可以大大降低计算复杂度.

步骤5. 把 $\lambda - $ 切割矩阵中的每一列看作一个向量, 即 ${{\rm D}_\lambda } = ({\bar \alpha _1},{\bar \alpha _2}, \cdots ,{\bar \alpha _{10}})$ , ${\bar \alpha _j} = {({\alpha _{1j}},{\alpha _{2j}}, \cdots ,{\alpha _{10j}})^{\rm T}}$ . 对任意两个列向量进行内积点乘运算 $({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _j}) = {\bar \alpha _i}^T{\bar \alpha _j}$ , 如果 $({\bar \alpha _i},{\bar \alpha _j}) = {\bar \alpha _i}^{\rm T}{\bar \alpha _j} = 0$ , 则认为这两个列向量是正交关系, 对应的两个样本不能归为同一个类别. 比如, 当 $\lambda = 0.1983$ 时, $({\bar \alpha _4},{\bar \alpha _5}) = {\bar \alpha _4}^{\rm T}{\bar \alpha _5} = 0$ , 因此, 样本4, ${p_4}$ , 和样本5, ${p_5}$ , 不能归为同一类. 据此原理, 得到聚类结果如表3.

步骤6. 将上面得到的聚类结果作为k-means算法的初始集群, 做进一步聚类分析, 验证本文算法聚类结果的准确性. 因为分为10个类和1个类的结果都只有一种, 所以下面只对分为2–9个类的结果进行验证.

当 $k = 9$ 时, 将样本分为9类, 分别为: ${C_1} = \{ {p_1}\} $ , ${C_2} = \{ {p_2}\} $ , ${C_3} = \{ {p_3},{p_{10}}\} $ , ${C_4} = \{ {p_4}\} $ , ${C_5} = \{ {p_5}\} $ , ${C_6} = \{ {p_6}\} $ , ${C_7} = \{ {p_7}\} $ , ${C_8} = \{ {p_8}\} $ , ${C_9} = \{ {p_9}\} $ .

${C_3} = \{ {p_3},{p_{10}}\} $ 的质心为 ${p_3}$ 和 ${p_{10}}$ 的中点:

$ \{\{ {s_0}\} \{ {s_{ - 0.5}},{s_{0.25}},{s_0}\} \{ {s_0}\} \{ {{s_0},{s_{1.75}},{s_{2.5}}}\} \{ {s_0}\}\} $

计算每一个样本到类之间的距离测度:

$d({p_1},{C_1}) = 0$ $d({p_1},{C_2}) = 0.2274$ $d({p_1},{C_3}) = 0.0933$

$d({p_1},{C_4}) = 0.2222$ $d({p_1},{C_5}) = 0.2578$

$d({p_1},{C_6}) = 0.2354$ $d({p_1},{C_7}) = 0.3091$

$d({p_1},{C_8}) = 0.0486$ $d({p_1},{C_9}) = 0.3982$

由此可知, ${p_1}$ 与 ${C_1}$ 类的距离最小, 因此 ${p_1}$ 属于 ${C_1}$ 类;

$d({p_2},{C_1}) = 0.2274$ $d({p_2},{C_2}) = 0$ $d({p_2},{C_3}) = 0.2513$

$d({p_2},{C_4}) = 0.6852$ $d({p_2},{C_5}) = 0.2146$

$d({p_2},{C_6}) = 0.4478$ $d({p_2},{C_7}) = 0.0533$

$d({p_2},{C_8}) = 0.3829$ $d({p_2},{C_9}) = 0.3892$

由此可知, ${p_2}$ 属于 ${C_2}$ 类;

$d({p_3},{C_1}) = 0.1158$ $d({p_3},{C_2}) = 0.2707$

$d({p_3},{C_3}) = 0.0059$

$d({p_3},{C_4}) = 0.2355$ $d({p_3},{C_5}) = 0.0736$

$d({p_3},{C_6}) = 0.0506$ $d({p_3},{C_7}) = 0.2593$

$d({p_3},{C_8}) = 0.1878$ $d({p_3},{C_9}) = 0.2441$

由此可知, ${p_3}$ 属于 ${C_3}$ 类;

$d({p_4},{C_1}) = 0.2222$ $d({p_4},{C_2}) = 0.6852$

$d({p_4},{C_3}) = 0.2217$ $d({p_4},{C_4}) = 0$ $d({p_4},{C_5}) = 0.4450$

$d({p_4},{C_6}) = 0.2201$ $d({p_4},{C_7}) = 0.7788$

$d({p_4},{C_8}) = 0.1983$ $d({p_4},{C_9}) = 0.4054$

由此可知, ${p_4}$ 属于 ${C_4}$ 类;

$d({p_5},{C_1}) = 0.2578$ $d({p_5},{C_2}) = 0.2146$

$d({p_5},{C_3}) = 0.0886$ $d({p_5},{C_4}) = 0.4450$ $d({p_5},{C_5}) = 0$

$d({p_5},{C_6}) = 0.1132$ $d({p_5},{C_7}) = 0.1762$

$d({p_5},{C_8}) = 0.3808$ $d({p_5},{C_9}) = 0.1854$

由此可知, ${p_5}$ 属于 ${C_5}$ 类;

$d({p_6},{C_1}) = 0.2354$ $d({p_6},{C_2}) = 0.4478$

$d({p_6},{C_3}) = 0.0648$ $d({p_6},{C_4}) = 0.2201$

$d({p_6},{C_5}) = 0.1132$ $d({p_6},{C_6}) = 0$ $d({p_6},{C_7}) = 0.3945$

$d({p_6},{C_8}) = 0.3134$ $d({p_6},{C_9}) = 0.2303$

由此可知, ${p_6}$ 属于 ${C_6}$ 类;

$d({p_7},{C_1}) = 0.3091$ $d({p_7},{C_2}) = 0.0533$

$d({p_7},{C_3}) = 0.2581$ $d({p_7},{C_4}) = 0.7787$

$d({p_7},{C_5}) = 0.1762$ $d({p_7},{C_6}) = 0.3945$ $d({p_7},{C_7}) = 0$

$d({p_7},{C_8}) = 0.4915$ $d({p_7},{C_9}) = 0.4108$

由此可知, ${p_7}$ 属于 ${C_7}$ 类;

$d({p_8},{C_1}) = 0.0486$ $d({p_8},{C_2}) = 0.3829$

$d({p_8},{C_3}) = 0.1637$ $d({p_8},{C_4}) = 0.1983$

$d({p_8},{C_5}) = 0.3808$ $d({p_8},{C_6}) = 0.3134$

$d({p_8},{C_7}) = 0.4915$ $d({p_8},{C_8}) = 0$ $d({p_8},{C_9}) = 0.4163$

由此可知, ${p_8}$ 属于 ${C_8}$ 类;

$d({p_{10}},{C_1}) = 0.0933$ $d({p_{10}},{C_2}) = 0.2513$

$d({p_{10}},{C_3}) = 0.0067$

$d({p_{10}},{C_4}) = 0.2217$ $d({p_{10}},{C_5}) = 0.0886$

$d({p_{10}},{C_6}) = 0.0648$ $d({p_{10}},{C_7}) = 0.2581$

$d({p_{10}},{C_8}) = 0.1637$ $d({p_{10}},{C_9}) = 0.2394$

由此可知, ${p_{10}}$ 属于 ${C_3}$ 类.

采用k-means进行聚类的结果为: ${C_1} = \{ {p_1}\} $ , ${C_2} = \{ {p_2}\} $ , ${C_3} = \{ {p_3},{p_{10}}\} $ , ${C_4} = \{ {p_4}\} $ , ${C_5} = \{ {p_5}\} $ , ${C_6} = \{ {p_6}\} $ , ${C_7} = \{ {p_7}\} $ , ${C_8} = \{ {p_8}\} $ , ${C_9} = \{ {p_9}\} $ , 集群的质心没有发生改变, 聚类结果与迭代之前一致, 迭代结束.

同理可以得到当 $k$ 分别取2-8时的k-means聚类结果, 最后发现, 聚类的结果和正交聚类的结果一致, 证明了本文提出的算法2的准确性. 与算法1相比, 算法2基于等价矩阵的基础上进行正交运算的, 降低了计算复杂度, 优化了算法性能, 更加适应于样本数据量大的情况. 综上, 本文提出的基于HFLTSs的正交模糊聚类算法算法复杂度相对较低, 准确性高, 解决了传统模糊聚类算法存在的缺陷.

5 总结

模糊聚类逐渐成为新的研究热点, 许多模糊聚类算法已经被提出, 但是基于HFLTSs的模糊聚类算法尚未成熟, 存在计算复杂度高的缺陷, 而HFLTSs是比较流行而且灵活度很高的语言术语, 因此本文提出了计算复杂度相对较低的基于HFLTSs的正交模糊聚类算法. 该算法基于HFLTSs的距离测量矩阵采用正交思想, 确定无法划分为同个类别的样本, 得到聚类结果. 为了验证算法的准确性和高效性, 本文还通过一个实例结合k-means算法对本文算法进行了验证. 未来 , 我们将继续研究将该算法扩展延伸至可以应用于更多类型的语言术语, 例如概率语言术语集(PLTSs), 以及为了使该算法可以更好地应用于大数据做进一步的研究和努力.