Stewart微动平台由动平台、定平台和连杆通过铰链链接而成, 可以实现6自由度运动. 作为一种并联机器结构, 具有结构刚度大、位置精度高、载重比高等优点, 被广泛应用于电子元件生产中的夹持系统、精密机床中的刀具控制和钻铣等领域. Stewart平台具有运动空间小、鲁棒性强、惯性小、运动精度高以及成本较低等优点, 同时具有较大的刚度和良好的定位能力, 是串联机构所不能代替的. 从Stewart平台的控制方面看, Stewart平台包含两个最基本的问题: 位姿正解和位姿反解. 位姿反解即Stewart的运动学反解是已知求解平台的位姿, 即已知3个线性坐标X、Y、Z和3个旋转坐标参量 $\alpha$ 、 $ \beta $ 、 $ \gamma$ ^[1], 求解平台的6个支腿长度. 位姿正解即Stewart的运动学正解则是已知平台的6个支腿长度求解平台位姿. 对Stewart平台来说, 运动学反解的求解较容易求得, 而运动学正解的求解比较困难^[2]. 位姿正解的求解对于Stewart平台空间分析、机构设计以及机构在故障中恢复均有重要作用^[3], 因此, 合理有效快速的位姿正解求解方法是十分必要的. 然而, 由于Stewart平台具有高耦合性、非线性等特点, 其位姿正解的求解问题一直是一个难题. 无法进行准确的位姿正解将使系统无法准确得知目前的平台运动状态, 会导致产生较大误差或引起系统震荡等问题.

目前, 位姿正解的求解方法主要有数值法和解析法两种. 数值法^[4-7]采用迭代法进行求解, 迭代法对迭代初值的要求较高, 初值选择不当会导致迭代无法正常收敛, 从而无法获得正确解. 解析法^[8-10]是通过构建多组约束方程并消去未知数的方法, 该法的求解过程较复杂、消元方法不确定, 同时求解过程慢, 无法满足实时控制的要求. 近年来, 基于智能算法的位姿正解方法引起学者的关注, 刘伟锐等提出采用一种改进的粒子群算法求解并联机构的位姿正解^[11]. 张宗之等^[12]采用BP神经网络来对Stewart平台进行位姿正解, 收敛速度较慢, 容易陷入局部极值.

为了改进迭代法和解析法的缺点, 首先建立Stewart平台支腿长度与平台位姿的运动学模型, 然后利用Elman神经网络来实现位姿正解的求解并实验验证. 该方法具有良好的动态特性^[13], 精度高, 能够快速准确的实现Stewart平台位姿正解的求解.

1 Stewart平台运动学模型

Stewart平台结构如图1所示, 驱动器利用万向节和平台、底座链接, 通过伸缩运动驱动动平台运动, 从而在三维空间中实现6自由度的运动^[14].

建立动坐标系O_p- X_pY_pZ_p和静坐标系O-XYZ. 两坐标系原点分别为动、静平台的质心, 坐标平面O_pX_pY_p与动平台重合, 坐标平面OXY与静平台重合, Z_p轴和Z轴垂直OXY平面竖直向上.

在对平台进行控制时, 涉及到从任务空间至关节空间的转换, 任务空间采用位姿 $q={\left[{x}_{p}\;{y}_{p}\;{{\textit{z}}}_{p}\;\alpha \;\beta\; \gamma \right]}^{\rm T}$ 进行描述, 关节空间采用 $l={\left[{l}_{1}\;{l}_{2}\;{l}_{3}\;{l}_{4}\;{l}_{5}\;{l}_{6}\right]}^{\rm T}$ 进行描述. 支腿 $i$ 上端坐标为 ${\left[{P}_{ix}\;{P}_{iy}\;{P}_{i{\textit{z}}}\right]}^{\rm T}$ , 下端坐标为 ${\left[{O}_{ix}\;{O}_{iy}\;{O}_{i{\textit{z}}}\right]}^{\rm T}$ , 绕Z轴的偏转角 $\gamma$ , 绕Y轴的俯仰角为 $\beta$ , 绕X轴的滚动角为 $\alpha$ , 可以得到绕各轴转动的坐标变换矩阵

$\left\{ \begin{array}{l} {R_{\rm Z}}\left( \gamma \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos\gamma }&{ - \sin\gamma }&0\\ {\sin\gamma }&{\cos\gamma }&0\\ 0&0&1 \end{array}} \right]\\ {R_{\rm Y}}\left( \beta \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos\beta }&0&{\sin\beta }\\ 0&1&0\\ { - \sin\beta }&0&{\cos\beta } \end{array}} \right]\\ {R_{\rm X}}\left( \alpha \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0\\ 0&{\cos\alpha }&{ - \sin\alpha }\\ 0&{\sin\alpha }&{\cos\alpha } \end{array}} \right] \end{array}\right. $

动平台相对于定平台的旋转矩阵为:

$ \begin{aligned} R & = {R_{\rm Z}}\left( \gamma \right) \cdot {R_{\rm Y}}\left( \beta \right) \cdot {R_{\rm X}}\left( \alpha \right) \\ & = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {C\beta C\gamma }&{S\alpha S\beta C\gamma - C\alpha S\gamma }&{C\alpha S\beta C\gamma + S\alpha S\gamma }\\ {C\beta S\gamma }&{S\alpha S\beta S\gamma + C\alpha C\gamma }&{C\alpha S\beta S\gamma - S\alpha C\gamma }\\ { - S\beta }&{S\alpha C\beta }&{C\alpha C\beta } \end{array}} \right] \end{aligned} $

(1)

计算长度时, 需要统一坐标系, 即通过转换矩阵将动坐标系O_p- X_pY_pZ_p中的坐标转换到静坐标系O-XYZ中, 变换矩阵为:

$ T = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {C\beta C\gamma }&{S\alpha S\beta C\gamma - C\alpha S\gamma }&{C\alpha S\beta C\gamma + S\alpha S\gamma }&{{x_p}}\\ {C\beta S\gamma }&{S\alpha S\beta S\gamma + C\alpha C\gamma }&{C\alpha S\beta S\gamma - S\alpha C\gamma }&{{y_p}}\\ { - S\beta }&{S\alpha C\beta }&{C\alpha C\beta }&{{{\textit{z}}_p}}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}} \right] $

(2)

式中, $S\alpha =\sin\alpha$ , $C\alpha =\cos\alpha$ , 其他类似. ${x}_{p}$ 、 ${y}_{p}$ 、 ${{\textit{z}}}_{p}$ 表示动坐标系原点在静坐标系中的坐标. 将动坐标系中的坐标转换至静坐标系后为:

${\left[ {{P_{ix}}^{\rm{'}}{P_{iy}}^{\rm{'}}{P_{i{\textit{z}}}}^{\rm{'}}{\rm{}}1} \right]^{\rm T}} = T{\left[ {{P_{ix}}{P_{iy}}{P_{i{\textit{z}}}}{\rm{}}1} \right]^{\rm T}}$

(3)

根据支腿两端坐标, 可得支腿长度为:

${l_i}\!\! =\!\! \sqrt {{{\left( {{P_{ix}}^{'} \!\!-\!\! {O_{ix}}} \right)}^2}\!\! +\!\! {{\left( {{P_{iy}}^{'}\!\! -\!\! {O_{iy}}} \right)}^2} \!+\! {{\left( {{P_{i{\textit{z}}}}^{'} - {O_{i{\textit{z}}}}} \right)}^2}} ,\left( {i = 1,2, \cdots ,6} \right)$

(4)

从数学模型可见, 6条支腿长度 $l={\left[{l}_{1}\;{l}_{2}\;{l}_{3}\;{l}_{4}\;{l}_{5}\;{l}_{6}\right]}^{\rm T}$ 与位姿 $q={\left[{x}_{p}\;{y}_{p}\;{{\textit{z}}}_{p}\;\alpha \;\beta\; \gamma \right]}^{\rm T}$ 之间的关系可以用6个结构相同的非线性方程表示:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( {x,y,{\textit{z}},\alpha ,\beta ,\gamma ,{l_1}} \right) = 0}\\ {{f_2}\left( {x,y,{\textit{z}},\alpha ,\beta ,\gamma ,{l_2}} \right) = 0}\\ {{f_3}\left( {x,y,{\textit{z}},\alpha ,\beta ,\gamma ,{l_3}} \right) = 0}\\ {{f_4}\left( {x,y,{\textit{z}},\alpha ,\beta ,\gamma ,{l_4}} \right) = 0}\\ {{f_5}\left( {x,y,{\textit{z}},\alpha ,\beta ,\gamma ,{l_5}} \right) = 0}\\ {{f_6}\left( {x,y,{\textit{z}},\alpha ,\beta ,\gamma ,{l_6}} \right) = 0} \end{array}} \right.$

(5)

对式(5)所示的方程组进行求解, 就可以得到平台的位姿参数, 即得到动平面对应的动坐标系O_p- X_pY_pZ_p原点O_p的坐标 $\left({x}_{p},{y}_{p},{{\textit{z}}}_{p}\right)$ 和动平台的欧拉角 $\left(\alpha \; \beta \; \gamma \right)$ .

由式(5)可得, Stewart平台的模型是由6个多元非线性方程构成, 无法通过常规的公式推导进行简化和求解. 在实际应用中, 由于模型失配、测量误差等, 所建立的非线性方程组不完全守恒, 从而会造成求解失败的现象. Elman神经网络作为一种具有局部记忆单元和局部反馈连接的递归神经网络^[10], 具有良好的动态特性, 收敛速度快, 因此, 基于Elman神经网络建立Stewart平台的位姿正解模型.

2 基于Elman神经网络的Stewart平台位姿正解

Elman神经网络的网络结构一般分为4层: 输入层、输出层(中间层)、承接层和输出层. 输入层、隐含层、输出层的连接类似于前馈式网络, 输入层的单元仅起信号传输作用, 输出层单元起线性加权作用. 隐含层单元的传递函数可采用线性或者非线性函数, 承接层又称为上下文层或者状态层, 它用来记忆隐含层单元前一时刻的输出值并返回给网络的输入, 可以认为是一个一步延时算子. Elman神经网络的网络结构图如图2所示.

采用Elman神经网络进行位姿正解时, 输入为6条支腿长度 $u={\left[{l}_{1}\;{l}_{2}\;{l}_{3}\;{l}_{4}\;{l}_{5}\;{l}_{6}\right]}^{\rm T}$ , 输出为位姿 $y = \left[ {{x_p}\;{y_p}\;{{\textit{z}}_p}\;} \right.$ ${\left. {\alpha \;\beta \;\gamma } \right]^{\rm{T}}} $ .

数学模型可以表示为:

$ x\left(k\right)=f\left({\omega }^{2}{x}_{c}\left(k\right)+{\omega }^{1}u(k-1)\right) $

(6)

$ {x}_{c}\left(k\right)=\alpha {x}_{c}\left(k-1\right)+x(k-1) $

(7)

$\hat y\left( k \right) = g\left( {{\omega ^3}x\left( k \right)} \right)$

(8)

其中, $\alpha$ 为增益因子, $f( \cdot )$ 和 $g( \cdot )$ 为激活函数, $k={2,3},\cdots ,n$ , $n$ 为样本数.

Elman神经网络的输出可表示为:

$\hat y\left( k \right) = {\omega ^3}x\left( k \right)$

(9)

学习指标函数为:

$ E=\frac{1}{2}{\left(y\left(k\right)-\hat y\left(k\right)\right)}^{\rm T}\left(y\left(k\right)-\hat y\left(k\right)\right) $

(10)

神经网络的权重更新公式为:

$ W\left(k+1\right)=W\left(k\right)+\eta \left(-\frac{\partial E}{\partial W}\right) $

(11)

其中, $W=[{\omega }_{jq}^{1},{\omega }_{jl}^{2},{\omega }_{ij}^{3}]$ , ${\omega }_{jq}^{1}$ 为输入层节点q与隐含层节点j之间的权重; ${\omega }_{jl}^{2}$ 为承接层节点l与隐含层节点j之间的权重; ${\omega }_{ij}^{3}$ 为隐含层节点j与输出层节点i之间的权重. $\eta$ 为学习因子, 为正数.

学习指标E关于 ${\omega }_{ij}^{3}$ 的偏导数为:

$ \frac{\partial E}{\partial {\omega }_{ij}^{3}}=-\left({y}^{i}\left(k\right)-{\widehat{y}}^{i}\left(k\right)\right)\frac{\partial {\widehat{y}}^{i}\left(k\right)}{\partial {\omega }_{ij}^{3}}=-{\varphi }_{i}^{o}{x}_{j}\left(k\right) $

(12)

其中, $\varphi _i^o = \left( {{y^i}\left( k \right) - {{\hat y}^i}\left( k \right)} \right)g_i^{\rm{'}}\left( \cdot \right),{\rm{}}i = 1,2, \cdots ,m;j = 1,2, \cdots ,n$ .

同理, 学习指标E关于 ${\omega }_{jl}^{2}$ 的偏导数为:

$ \frac{\partial E}{\partial {\omega }_{jl}^{2}}=\sum _{i=1}^{m}(-{\varphi }_{i}^{o}{\omega }_{ij}^{3})\frac{\partial {x}_{j}\left(k\right)}{\partial {\omega }_{jl}^{2}},\;\;l={1,2},\cdots ,n $

(13)

$\partial {x}_{j}\left(k\right)/\partial {\omega }_{jl}^{2}$ 可由下式得到:

$\begin{split} \dfrac{{\partial {x_j}\left( k \right)}}{{\partial \omega _{jl}^2}} &= \dfrac{\partial }{{\partial \omega _{jl}^2}}{f_j}\left( {\displaystyle \mathop \sum \limits_{l = 1}^n \omega _{jl}^2{x_{c,j}}\left( k \right)+ } {\displaystyle \mathop \sum \limits_{q = 1}^r \omega _{jq}^1{u_q}\left( {k - 1} \right)} \right)\\ &= f_j^{\rm{'}}\left( \cdot \right)\left( {{x_{c,j}}\left( k \right) + \displaystyle \mathop \sum \limits_{l = 1}^n \omega _{jl}^2\frac{{\partial {x_{c,j}}\left( k \right)}}{{\partial \omega _{jl}^2}}} \right) \end{split}$

(14)

若不考虑 ${x}_{c}\left(k\right)$ , 式(14)可写为:

$ \frac{\partial {x}_{j}\left(k\right)}{\partial {\omega }_{jl}^{2}}={f}_{j}^{'}\left( \cdot \right){x}_{l}\left(k-1\right)+\alpha \frac{\partial {x}_{j}(k-1)}{\partial {\omega }_{jl}^{2}} $

(15)

同理, 学习指标E关于 ${\omega }_{jq}^{1}$ 的偏导数为:

$ \frac{\partial E}{\partial {\omega }_{jq}^{1}}=\frac{\partial E}{\partial {\omega }_{j}\left(k\right)}\frac{\partial {x}_{j}\left(k\right)}{\partial {\omega }_{jq}^{1}}=-{\varphi }_{j}^{h}{u}_{q}(k-1) $

(16)

其中,

$ {\varphi }_{j}^{h}=\sum \limits_{i=1}^{m}\left({\varphi }_{i}^{o}{\omega }_{ij}^{3}\right){f}_{j}^{'}\left( \cdot \right),q={1,2},\cdots ,r $

(17)

3 Elman神经网络训练与验证

图3所示为本次的实验对象Stewart平台.

3.1 Stewart平台参数

根据表1和表2的Stewart平台参数, 圆上任意一点坐标计算公式:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x' = r'*\cos\alpha '}\\ {y' = r'*\sin\alpha '} \end{array}} \right.$

(18)

其中, $x'$ 、 ${y}'$ 分别代表任意一点在圆上的X、Y轴坐标, ${r}'$ 为圆半径, ${\alpha }'$ 为任意一点与圆心的连线与X轴之间的角度. 可得支腿各个连接点在静平台坐标系中的初始坐标如表3、表4. 参数化模型如图4所示.

3.2 Elman神经网络训练及验证

Elman神经网络模型结构选择为6-5-6, 输入为支腿长度 $u={\left[{l}_{1}\;{l}_{2}\;{l}_{3}\;{l}_{4}\;{l}_{5}\;{l}_{6}\right]}^{\rm T}$ , 输出为位姿 $y={\left[{x}_{p}\;{y}_{p}\;{{\textit{z}}}_{p}\alpha \beta \gamma \right]}^{\rm T}$ , 隐含层使用Sigmoid函数, 输出层使用Purelin线性传递函数, 样本通过位姿反解求得.

根据表5, 可选取运动函数为:

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{f_{\rm X}}\left( t \right) = 20\sin t}\\ {{f_{\rm Y}}\left( t \right) = 20\sin t}\\ {{f_{\rm Z}}\left( t \right) = 10\sin t}\\ {{f_\alpha }\left( t \right) = 0.13\sin t}\\ {{f_\beta }\left( t \right) = 0.13\sin t}\\ {{f_\gamma }\left( t \right) = 0.21\sin t} \end{array}} \right. $

(19)

对应的6个支腿长度变化曲线如图5所示.

最终结果如图6与图7所示, 分别为X、Y、Z和α、β、γ方向上的Elman神经网络输出与实际输出图, 图中黑色虚线代表Elman神经网络输出, 绿色点虚线代表实际输出, 误差统计见表6. 图8与图9分别表示X、Y、Z和α、β、γ方向上的误差图.

4 结论

由于Stewart平台的位姿正解方程组由6个多元非线性方程构成, 普通方法难以得位姿正解. 更快更准确地求出其位姿有助于对Stewart平台的分析. 根据平台结构与其运动学模型建立了相应动平台与静平台坐标系, 用以描述支腿各连接点位置坐标和平台位姿, 通过坐标法表示运动位姿与支腿长度之间的关系. 建立了模型基于Elman神经网络的Stewart平台位姿正解模型, 对网络进行训练和实验验证. 实验结果表明: 基于elman神经网络的Stewart平台位姿正解方法对于Stewart平台的位姿正解问题效果良好, 位移误差和旋转角度误差范围都在10⁻⁷~10⁻⁹mm左右, 精准度高, 验证了该法的有效性.