﻿ 空间插值分析算法综述
 计算机系统应用  2019, Vol. 28 Issue (7): 1-8 PDF

Review of Spatial Interpolation Analysis Algorithm
LI Hai-Tao, SHAO Ze-Dong
Information Science and Technology Academy, Qingdao University of Science and Technology, Qingdao 266061, China
Foundation item: Pilot Digital Agriculture Construction Project of Aquaculture of Ministry of Agriculture (2017-A2131-130209-K0104-004); Leading Talent of Innovation of Qingdao City (15-07-03-0030)
Abstract: Spatial interpolation analysis algorithm is a kind of algorithm applied to transform measurement data of discrete points into continuous data surface. It can compare the distribution of continuous data surfaces with other spatial phenomena, and it has a wide range of applications in spatial information, especially in terms of geographic information. The interpolation principle and application scenarios of spatial interpolation algorithms such as Thiessen polygon method, inverse distance weight interpolation method, spline function interpolation method and Kriging interpolation method are reviewed. The progress and future research direction of spatial interpolation analysis algorithm is discussed.
Key words: spatial interpolation     Thiessen polygon     inverse distance weight interpolation     spline interpolation     Kriging interpolation

1 泰森(Thiessen)多边形

 图 1 泰森多边形示意图

 ${V_e} = {V_i}$ (1)

 ${d_{ei}} = \min ({d_{e1}},{d_{e2}}, \cdots, {d_{en}})$ (2)

 图 2 泰森多边形创建流程

2 反距离权重插值(IDW)

IDW的数学表达式:

 ${\hat Z_0} = \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {{Z_i}{Q_i}} \right)}$ (3)

 ${Q_i} = \frac{{f({d_{ej}})}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {f({d_{ej}})} }}$ (4)

 $f({d_{ej}}) = \frac{1}{{d_{ej}^b}}$ (5)

IDW简便易操作, 不会出现无法解释的无意义结果, 即使观测点数据集的变化波动很大也能够得到一个比较合理的结果[17]. 但是, IDW对权重函数的选择特别敏感, 权重函数存在细微差别对生成的结果会有较大的波动, 而且易受观测点数据集的影响, 由于数据集的影响, 可能存在孤立的分布模式, 其中部分点数据高于其他周围数据.

3 样条函数插值(Spline)

 $a = {x_0} < {x_1} < \cdots < {x_n} = b$ (6)

 ${\hat Z_0} = T\left( {x,y} \right) + \sum\limits_{i = 0}^n {{\lambda _i}R{{\left( {{r_i}} \right)}_{}}}$ (7)

 $T\left( {x,y} \right) = {a_1} + {a_2}x + {a_3}y$ (8)
 $R\left( {{r_i}} \right) = \dfrac{{\dfrac{{r_i^2}}{4}\left[ {\ln \left( {\dfrac{{{r_i}}}{{2\Pi }}} \right) + c - 1} \right] + {\tau ^2}\left[ {{k_0}\left( {\dfrac{{{r_i}}}{\tau }} \right) + c + \ln \left( {\dfrac{{{r_i}}}{{2\Pi }}} \right)} \right]}}{{2\Pi }}$ (9)

 $T\left( {x,y} \right) = {a_1}$ (10)
 $R\left( {{r_i}} \right) = \frac{1}{{2\Pi {\phi ^2}}}\left[ {\ln \left( {\frac{{r\phi }}{2}} \right) + c + {k_0}\left( {r\phi } \right)} \right]$ (11)

 图 3 样条函数示意

4 克里金(Kriging)插值算法

 ${\hat Z_0} = \sum\limits_{i = 0}^n {{\lambda _i}{Z_i}}$ (12)

ZiE(Zi)=m已知, 则将这种克里金插值法成为简单克里金插值法[33], 此时简单克里金的表达式为:

 ${\hat Z_0} = \sum\limits_{i = 0}^n {{\lambda _i}{Z_i} + m\left( {1 - \sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}} } \right)}$ (13)

ZiE(Zi)为未知常数, 则将这种克里金插值法成为普通克里金插值法[33], 求解权重系数的表达式为:

 $\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}Cov\left( {{x_i},{x_j}} \right) - \mu = Cov\left( {{x_0},{x_i}} \right)} \\ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i} = 1} \\ \end{array} \right.$ (14)

 $\gamma \left( {{x_i},{x_j}} \right) = \frac{1}{2}E{\left[ {Z\left( {{x_i}} \right) - Z\left( {{x_j}} \right)} \right]^2}$ (15)

ZiE(Zi)=m(xi)时, 即在插值区域内是非平稳的, 协方差或变异函数已知, 此时被称为泛克里金插值法[35], m(xi)就是在这xi的期望值, 即漂移. 泛克里金插值法是一种地统计学方法, 它考虑到了有漂移的无偏线性估计量[34]. 泛克里金插值方法求解权重系数的方程组的表达式:

 $\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}Cov\left( {{x_i},{x_j}} \right) - \sum\limits_{}^{} {{\mu _l}{f_l}\left( {{x_i}} \right)} = Cov\left( {{x_0},{x_i}} \right)} \\ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\lambda _i}{f_l}\left( {{x_i}} \right) = {f_l}\left( x \right)} \\ \end{array} \right.$ (16)

 $l\left( {x,z} \right) = \left\{ \begin{gathered} 1,\;\;\;Z\left( {{x_i}} \right) \leqslant z \\ 0,\;\;\;Z\left( {{x_i}} \right) > z \\ \end{gathered} \right.$ (17)

 $\gamma \left( {{x_i},{x_j}} \right) = \frac{1}{{2N}}\sum\limits_{i = 0}^N {{{\left[ {l\left( {{x_i},z} \right) - l\left( {{x_j},z} \right)} \right]}^2}}$ (18)

 ${\hat Z_0} = \sum\limits_{i = 0}^n {{f_i}\left( {{Z_i}} \right)}$ (19)

 ${\hat Z_0} = \sum\limits_{k = 1}^K {\sum\limits_{{i_k} = 0}^{{n_k}} {{\lambda _{{i_k}}}{Z_{{i_k}}}} }$ (20)

5 结论

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